研究复杂区域的边界对应问题往往是十分困难的.Carathéodoy最早提出素端的概念，为人们在解决这类问题时提供了良好的工具.随后，人们也对素端给出了不同的刻画，并将该思想应用到其它研究领域.如在复动力系统中研究Julia集的性质.Busemann是定义在无界完备的度量空间上的连续函数，可以利用Busemann函数讨论无穷边界的性质.而在复平面上任一边界多于两点的单连通区域上可赋有Poincaré度量，它在该区域上是无界完备的度量，相应地可在这个度量下定义Busemann函数.　　本文主要应用Busemann函数的相关理论和方法来讨论素端.在第二章介绍了素端的概念，并且介绍了Poincaré度量的相关性质以及Buesmann函数的概念和它的一些性质.第三章介绍了单位圆上的Busemann函数和极限球与边界点的对应关系，进而研究了它们与素端的联系.