鞍点线性系统源于许多科学计算与工程应用领域,如计算流体力学、椭圆偏微分方程的有限元和有限差分离散、加权等式约束最小二乘估计、图像处理等.鞍点系统的求解不仅对整个问题的解决起着至关重要的作用,而且具有十分重要的理论意义和实际应用价值.如何根据具体物理背景和鞍点结构矩阵性质设计出一类高效、稳健、实用的数值解法既是现代科学与工程计算的核心,又是当前数值计算工作者和工程技术人员的研究热点.本文主要研究了离散化偏微分方程中一类鞍点问题的数值解法,并将所得解法应用于图像复原问题中出现的一类结构化线性系统的求解.第一章给出了鞍点线性系统研究的背景意义、研究现状,并概述了本文的主要研究内容、特色和创新之处.第二章基于松弛预处理思想和松弛正定反Hermitian分裂方法,为大型稀疏非Hermitian鞍点问题提出了一类有效的广义松弛正定反Hermitian分裂(GRPSS)预处理方法.理论研究了GRPSS预处理矩阵的特征值分布和收敛性,并且发现GRPSS预处理子在某些范数意义下比RPSS预处理子更加接近初始系数矩阵.最后通过数值实验验证了此方法的有效性,并且发现理论与实验结果完全吻合.第三章对不可压缩Navier-Stokes方程中广义鞍点问题提出了一类修正松弛分裂(MRS)预处理解法.详细地研究了此预处理方法所对应预处理矩阵最小多项式次数及其预处理矩阵的特征值分布.与GRS方法相比,在保持计算量不变的前提下,MRS预处理子更加接近原始矩阵.实验证明了MRS方法的可行性和有效性.然而在求解MDS和MRS方法所对应的预处理子系统时,每步都需要求解两个子矩阵的逆.为此我们提出了一类新的块上下三角分裂(BULT)迭代法,理论分析发现当结合Krylov子空间方法求解时,可以很好地避免上述子系统求逆这一困难,从而大大提高了Krylov子空间方法的求解效率.第四章针对稳态不可压缩Navier-Stokes方程中的一类鞍点问题,提出了一类修正的SIMPLE(MS)预处理方法.通过对MS预处理矩阵的谱分析发现,在适当的条件下,预处理矩阵的所有特征值将会紧紧地聚集在(1,0)点附近.从而克服了松弛的HSS方法其余特征值分布很广的这一缺点.最后,从理论和实验上得到MS预处理子比已有的一些较好的预处理子更为有效.第五章研究了两类特殊鞍点系统的数值解法,即复线性系统和奇异鞍点线性系统.对复线性系统提出了一类广义的PMHSS(GPMHSS)方法,理论分析表明在选取适当的参数下,GPMHSS方法的谱半径比PMHSS方法和ADPMHSS方法的谱半径都要小.此外,对奇异鞍点系统提出了一类增广块三角分裂(ABTS)预处理方法.此方法对应产生鞍点线性系统的一个恰当分裂且理论分析证明,ABTS预处理迭代方法会收敛到奇异鞍点问题的广义逆解.同时发现,在结合ABTS预处理方法和GMRES方法进行求解时,也会收敛到预处理奇异鞍点系统的广义逆解.最后给出了ABTS方法的最优参数以及最佳收敛因子表达式.第六章研究了图像复原中得到的鞍点结构线性系统的上下三角(ULT)分裂迭代解法,给出了某些特定条件下的最优参数和最优收敛因子.实验结果显示,与已有的SHSS和RGHSS方法相比,ULT方法更具竞争性和有效性,且可以有效地应用于图像复原问题.第七章首先将广义的反Hermitian三角分裂(GSTS)迭代方法进行推广并得到一类修正的广义反Hermitian三角分裂(MGSTS)迭代解法.理论上给出了MGSTS方法求解图像复原问题时的收敛性和拟最优参数.最后通过数值比较验证了此方法在在求解图像复原问题时的高效性和精确性.第八章对全文进行总结,并在该章给出了以后工作的方向和展望.