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多项式方程组求解是一个古老、经典但却依旧充满活力的问题.它在数学领域理论研究及工程领域实践应用中都起着至关重要的作用.多项式方程组根据解的个数可分为零维系统和正维系统.在基域的代数闭包上,零维系统的解的个数为有限个,即零维系统的解全为孤立解;而正维系统的解则有不可数无穷多个,即正维系统的解必含有流形解.有理单变量表示(RUR)是求解零维系统的一种符号算法,该算法将零维系统的解的分量表示为某个多项式的零点的有理函数.这相当于给出了零维系统解的显式表达式或参数化形式,使得能够较方便地对解坐标进行加、减、乘、除、插值等运算,因此该方法逐渐受到人们的重视.在RUR理论中,分离元处于核心地位,它是一个多项式(常取为一次多项式),其在系统不同零点处取值互异.具体来讲,设k是特征为零的域,I(?)k[x1,...,xn]是零维理想,I的仿射簇Vk(I)是有限点集,t ∈k[x1,...,xn]称为I的分离元,若对α,β ∈ Vk(I),α≠β蕴含t(α)≠t(β).确定分离元t后,I相应于t的RUR是以k[T]中一元多项式为元素的(n + 2)元组{Xt(T),Gt(1,T),Gt(xi,T),i=1,...,n},(1)其中Xt(T)是t在商k[x1,...,xn]/I中对应乘法矩阵的特征多项式,其零点恰好为全部的t(α),α∈ Vk(I),且t(α)作为Xt(T)零点的重数与α作为I的零点的重数相等.此时,I的仿射簇可表示为即理想I的零点可由Xt(T)的零点来表示.这样,在得到零维理想的RUR后,可通过求解一元多项式方程得Xt(T)的零点,之后将它们代入式(2)中坐标表达式,从而得理想I的全部零点,也就是说可以通过求解一个一元多项式方程式和n次有理函数赋值得到理想I的所有零点.对于正维系统,为得到解的类似于式(2)的表达形式,2010年谭畅和张树功提出了正维理想的有理表示集的概念,将正维理想的零点用有限个有理表示集来表示,从而给出了正维理想的有理表示理论.有理表示集的定义如下.定义1(有理表示集)设I(?)k[X]是正维理想.设U(?)X,记d:=#U,1 ≤ d<n.记V:= XU = {v1,...,vn-d}.假设U模理想I代数无关极大,t ∈k[V]是Ie的分离元,{Xu,t(T),GU,t(1,T),GU,t(V1,T),...,GU,t(vn-d,T)是Ie相应于分离元t的RUR.称RtU:= {F(U)△t(U),Xu,tU,t(T),GU,t(1,T),GU,t(v1,T),...,GU,t(vn-d,T)}(3)是理想I相应于U和分离元t的有理表示集(Rational Representation Set,简称RRS),其中Xu，t(T),GU,t(1,T),GU,t(v1,T),...,GU,t(Vn-d,T)为k(U)[T]中的一元多项式,即有理函数域k(U)上一元多项式,F(U),△t(U)为k[U]中多项式,△t(U)∈ k[U]表示结式ResT(XU,t(T),(?)XU,t(T)/(?)T的分子多项式,xU,t(T)表示XU,t(T)的无平方部分.有理表示集其实是正维理想I的扩张理想Ie的RUR(基域为有理函数域k(U)),这相当于在式(1)中引入了参数集U,使它能表示正维理想的某些零点.定义中F(U)∈k[U]的作用是:对U0 ∈ k-d,F(U0)≠0保证式(3)中多项式的系数(k(U)中有理函数)在U0处赋值有意义;定义中△t(U)的作用是:对U0 ∈ k-d,在F(U0)≠0的前提下,△t(U0)≠0保证从式(3)中可得到I的U坐标分量为U0的零点.也就是说,一般情况下,理想I的一个有理表示集只能表示其部分零点,即满足F(U)△t(U)≠0的零点.为得到/的所有零点的表达形式,借鉴吴方法思想,只需继续计算<I,F(U)△t(U)>的有理表示集.<I,F(U)△t(U)>的有理表示集也可能只表示它的部分零点,从而需要重复上述过程.由理想的升链条件,上述过程必有限步终止.换言之,存在有限个有理表示集Rj,j = 1,...,s,它们可表示I的所有零点,这个结论的具体描述如下.定理1 设I(?)k[X]是正维理想,则I的仿射簇可由有限个有理表示集表示,即Vk(I)=∪ s j=1 Wj,s∈N,(?)其中Wj可由一个有理表示集Rj表示.∪ j=1=1 s{Rj}称为 Vk(I)的一个有理表示(Rational Representation,简称 RR).也称∪ j=1 s{Rj}是理想I的一个有理表示.这就是正维理想的有理表示理论.零维理想的有理单变量表示理论与正维理想的有理表示理论统称为理想的有理单变量表示理论.本文主要研究了该理论及其在理论与工程实际中的应用.主要工作有:1.给出了正维理想的简化有理表示.从正维理想的有理表示中移除某些有理表示集,用更少的有理表示集表示理想的仿射簇,从而简化计算,提升计算效率.在求得I相应于变元集U与分离元t(注意,t是Ie的分离元)的有理表示集Rt:={F(U)△t(U),XU,t(T),GU,t(1,T),GU,t(v1,T),...,GU,t(vn-d,T)}后,需要计算理想<I,F(U)· △t(U)>的有理表示集,这相当于分别计算<I,F(U)>和<I,△t(U)>的有理表示集.实际计算中,由于△t(U)是以有理函数为系数的两个一元多项式的结式的分子多项式,故通常情况下次数会较高,此时会导致<i,△t(U)>较难计算.在得到I的有理表示集RtU后,I的仿射簇可表示为Vk(I)= wtU∪Vk(<I,F(U)>)∪(Vk(<I,△t(U)>)Vk(<I,F(U)>)),其中WtU为RtU表示的点集,表示了满足F(U)· △t(U)≠ 0的I的零点.注意到Vk(<I,△t(U)>)Vk(<I,f(U)>)直观上可理解为Vk(I)中某些分支的交点,故由仿射簇的闭集性质可知,它们可由Vk(I)中某些点列逼近.基于Ie(?)k(U)[V]的商环的向量空间结构及特征值相对于矩阵元素的连续性,我们证明了 Vk(<I,F(U)>)Vk(<I,F(U)>)中元素可由WtU中点列逼近,也就是说RtU可“表示”VtU:=WtU∪(Vk(Vk,△t)Vk(I,F)).这里的“表示”的含义包括对WtU中点列取极限.至此,I的仿射簇可表示为Vk(I)=VtU∪Vk(<I,F(U)>).据此,我们定义I相应于U和t的简化有理表示集(Simplified Rational Representation Set,简称 SRRS)SRtU:= {Fu),XU,t(T),GU,t(1,T),GU,t(v1,T),...,GU,t(vn-d,T)},其“表示”的点集为VtU,在集合论意义下VtU比WtU更大,从而表示了 I的更多的零点.类似于有理表示理论,我们证明了正维理想的仿射簇可由有限个简化有理表示集表示,我们称这种表示为正维理想的简化有理表示(Simplified Rational Representation,简称SRR).可以看出,简化有理表示去掉了原来有理表示中涉及高次多项式运算的<I,△t(u)>的计算,因此简化了计算.2.提出了 U-素理想的概念.在代数上较清晰地描述了满足I= Iec的理想的特征;讨论了一维U-素理想的性质,证明了其简化有理表示可仅由两个简化有理表示集构成.给定U(?)X,称真理想I(?)k[X]U-素的,若0≠f·g∈I,f∈k[U],g∈k[X]蕴含着g ∈ I.我们证明了若U(?)X模理想I代数无关,则I= Iec与I是U-素理想等价.之后,使用U-素理想的性质证明了 I是U-素的当且仅当其极小准素分解中所有准素分支均是U-素的,最终从代数上解释了若I= Iec,则其每一极小准素分支J也满足J =Jec这一直观结论.当I的维数为1时,即#U= 1,可根据I在分块序<(U<<V)下约化Grobner基的特征,化简I的简化有理表示集中F(U)的计算.当I为一维U-素理想时,证明了对于任何0#f(U)∈k[U]均有<I,f(U)>为零维理想或<1>,从而得出I的简化有理表示可仅由两个简化有理表示集构成.3.对具有Shape基的零维理想,基于特征值方法,提出了利用零维理想对应商环的两个基之间的转换矩阵计算其RUR方法.假设理想I是具有Shape基的零维理想,记B1:={ωD,...,ω1=1}为k[X]/I在某单项序<下的单项商环基,其中D为k[X]/I作为k-向量空间的维数.理想I必存在分离元t,使得B2:= {tD-1,...,t,1}是商环k[X]/I的一个基底.记B1到B2的基转换矩阵为TB1,B2,从而有B2≡TB1,B2B1 mod I.下面说明如何用TB1,B2计算理想I的RUR.Xt(T)的计算.由于B2是k[X]/I的基底,故t作为k[X]/I上的算子的极小多项式与Xt(t)相同,于是可通过求解[CD-1,...,c0]TB1,B2=tD得Xt(t)=TD =-∑i=0 D-1 CDTi,其中tD为tD在基底B1下的(行)向量表示.Gt(xi,t),i = 1,...,n,的计算.考虑到有理单变量表示本质上是用分离元的有理函数来表示各未定元,及B1到B2的转换矩阵TB1,B2是将ti表示为B1中元素的线性组合,即B2 = TB1,B2B1 mod I,(4)从而可从变换TB1,B2的逆变换得各未定元关于ti的线性组合,即B1≡T B1,B2-1 B2 mod I,不妨记为Xi≡Pi’(t)mod I,deg(Pi’(T))<D,i = 1,...,n.由于Pi’的次数较高,为得理想的 PUR,考虑到 Xt(T)∈(?),记Pi((T):= Rem(Pi(T),Xt(T)),i = 1,...,n,则得{Xt(T),P1(T),...,Pn(T)}为理想I相应于分离元t的PUR.给定Gt(1,T),若计算理想的RUR,记Gt(xi,T)= Rem(Pi(T).Gt(11 T),Xt(T)),i=1,...,n,则{Xt(T),Gt(1,T),Gt(x1,T),...,Gt(xn,T)}为 I 相应于 t 的 RUR.4.讨论了零维理想的RUR理论在代数几何中的应用.设{Xt(T),Gt(1,T),Gt(xi,T),i = 1,...,n}是零维理想I相应于分离元t的RUR,且Xt(T)= f 1 μ1(T)…f s μs(T)为Xt(T)在k[T]中因式分解.证明了:a.Gt(1,T)为k中常数当且仅当 I只有一个零点.b.I 的根理想(?)为<f1(t)…fs(t),Gt(1,t)x1-Gt(x1,t),...,Gt(1,t)Xn-Gt(xn,t)>.c.(?)的素分解为(?)= ∩ i=1 s=1<fi(t),Gt(1,t)x1-Gt(x1,t),...,Gt(1,t)Xn-Gt(xn,t)>.5.讨论了简化有理表示在SHEPWM方程组求解中的应用.改进了化三角SHEPWM方程组为多项式方程组的算法.基于新的变量替换公式X,.=(-1)i+12cosαi及幂和对称多项式与基本初等对称多项式之间的显式转换公式,最终给出了多项式SHEPWM方程组的显式表达式.与前人相比,我们所得方程组中方程的系数较短,并且转换效率有了大幅度的提升.例如,当开关角个数N = 6时,在Mathematica 11中用前人算法完成方程组转换需要123.281s,而我们在Maple 2016中的代码仅需0.125s.简化有理表示的计算需要在有理函数域上计算,故存在中间表达式膨胀问题.为提高计算效率,我们使用同态像算法对其进行加速.首先,通过对SHEPWM方程组的自由变量,即SHEPWM问题中的调制比,进行赋值,得到一系列零维理想.之后利用零维理想的RUR理论,计算它们的RUR.最后,利用有理插值算法,将这些零维理想的RUR提升为SHEPWM问题的简化有理表示.使用简化有理表示的好处是能提升当调制比改变时求解SHEPWM问题的效率.在Maple 2016中,当开关角个数N = 5时,基于简化有理表示计算460个调制比对应的开关角,每个调制比对应开关角平均耗费时间为0.0284s.