在解析数论中,研究等分布理论,L-函数的零点分布等问题,自然会涉及到非线性指数函数的振荡问题.我们通常考虑一般的非线性指数和,其形如这里,n～X 表示 X ≤ n ≤ 2X,且e(z)=e2πiz.当β=1/2,Vinogradov[12]研究了关于von Mangoldt函数an=A(n)的非线性指数和S(X,α)的振荡问题.对于an=A(n)和an=p(n)(μ为莫比乌斯函数)的情形已经被Iwaniec,Luo和Sarnak[3]所研究,他们发现这些指数和与GL2上的L-函数密切相关.假设/是上半平面权为偶数的全纯尖形式,他们也证明了S(X,α)的一个更好的上界,这意味着对于L(s,f)[3]的拟黎曼猜想成立.Ren和Ye[7]研究了当β是变量,an是自同构形式的傅里叶系数的情形,并得到以下结论:令 0<β<1,0≠α∈R.(i)对于β≠1/2和所有α≠0,我们有(ii)对于|α|≤ 1或者|α|≥X1/2,我们有(iii)对于1<|α|1/2成立是等价的.Iwaniec,Luo和Sarnak[3]还考虑了非线性指数和其中,对于任意ε>0,有an<0,我们有其中包含的常数只依赖于ε.注1.为了证明定理1.1,我们将应用Sankaranarayanan[8]和Sun[9]的方法.我们主要使用的技术是Vaughan恒等式和Perron公式.由于β是变量,为了计算出β的依赖性,我们必须小心处理分母上有β的项,尤其是误差项.另外,我们必须在某些地方选择新的参数以确保该方法可行.当β=1/2时,我们的结果与Sankaranarayanan[8]一致,并且改进了 Surn[9]的结果.定理1.2.令μ(n)是莫比乌斯函数.对于任意0≠α∈R和0<β≤1,对于任意ε>0,我们有其中包含的常数只依赖于ε.注2.当β=1/2时,我们得到非线性指数和的上界估计是|α|1/2X3/4.对于任意的正整数q,我们取α=-2(?)q,an=λ(n)或者μ(n),这跟(1.2)式是一致的.当X的指数是1/2+ε时,该结果是迄今为止最好的结果.