无边界的共形场论，又称纯体域(bulk)理论，在弦理论的发展过程中起了非常重要的作用。弦理论的精确解往往需要借助共形场论的概念和技术。其中最为重要的模型是Wess-Zumino-Witten(WZW)模型。它对应于群背景空间中的闭弦理论。这方面的研究工作不仅拓展了弦理论的应用领域而且推动了仿射李代数及其表示理论的发展。对于含时间方向的非紧非半单的Nappi-Witten群，人们已经完全解出了这个闭弦系统。也就是说在该背景空间中，闭弦理论的任意点的关联函数已经得到。然而由于存在时间方向，它的态空间中存在负模长的态。而理论的幺正性要求所有物理态的模长都是非负的。这点在平坦时空和SL(2，R)背景空间中已经得到了严格证明。然而在Nappi-Witten群空间中，由于群的非半单性质，这一结论近十年来一直没有被严格证明。本文中我们将详细介绍这一证明过程。这是我们在2009年的一项工作。证明关键之处是，我们对于非半单群，证明了类时方向的投影算符的完备性。有了投影算符的完备性证明，我们可以根据Dixon等人的方法直接证明，类时流算符的最高权态空间中的所有态的模长都是非负的。然后，我们利用Hwang的方法，证明了所有物理态都在类时流算符的最高权态空间中。结合两部分的结论，我们可以得到no-ghost定理——在Nappi-Witten群背景空间中弦理论的所有物理态的模长都是非负的。　　近几年来研究热点转向了有边界的共形场论，在WZW模型中它们对应于群空间中的开弦理论。与闭弦理论不同的是，开弦理论对应的WZW模型并不是严格的。它有一定的任意性。另外，由于边界条件的存在，弦的左右手性流在边界处会受到一组限制条件的约束。限制条件与边界的性质相关。边界性质可以用所剩余的流，左右手性流的一种线性组合，来描述。组合方式称为粘合矩阵。现在所研究清楚的仅仅是紧群中与场无关的粘合矩阵对应的边界条件，其中边界条件必须是能够保持所有手性对称性的。而理论框架在下列情况中还没有建立:一，背景空间是非紧群，这种情况的困难主要在于表示空间的连续性。也就是说表示空间是由连续参数来标记的。这样就给检验边界是否满足Cardy条件带来困难;二，组合系数与场相关，这时场与流之间会有额外的算符积项。由于必须了解总流的算符积能否实现流代数，额外的算符积带来计算上的复杂性。而逆问题，即如何根据所要求的边界对称性找到所有可能的粘合矩阵形式，会因为额外的算符积而变得非常困难。另一方面，由于粘合矩阵的场相关性，边界的几何意义也会变得模糊不清。三，边界条件部分破坏或者完全破坏手性代数。由于此时开弦理论与闭弦理论不再有相同的对称性，是具有两种不同对称性的系统。那它们之间的相互作用在概念和技术上都是很难刻划的。　　有边界的共形场论存在两种描述方式。第一种，闭弦图象。由于边界，即D-膜，总是存在于闭弦背景中，因而边界的性质可以通过与闭弦的耦合方式来描述。事实上人们已经证明，D-膜与闭弦的单点关联函数决定了边界的性质。由于共形对称性，任意数目体域场的关联函数都可以通过算符积转化为单点关联函数。所以在知道体域场理论的情况下，任意个数体域场的关联函数完全由单点关联函数决定。第二种，开弦图象。这时候边界看成开弦端点所处的子空间。开弦的两端可以连接着同一种边界也可连接不同的边界。由于边界保持了共形对称性，开弦态也能与开弦场算符一一对应。开弦场算符总处于世界面的边界上。在具体求解边界共形场论的时候，首先要找到能保持体域对称性的粘合矩阵。然后写出对应的边界基矢量态。然而只有并非所有的基矢量态都对应于物理的D-膜。所以物理D-膜对应的边界态总是基矢量态的线性叠加，其中叠加系数必须满足以下两个条件。　　第一，两点关联函数的自洽性导致的因子化条件。可以考虑边界存在时的体域场两点关联函数。由于边界能够保持共形对称性，关联函数的值与两个顶点算符在平行于D-膜的方向上的间距无关。所以一方面可以让两个算符相距很远，两点关联函数就退化为两个单点关联的乘积。另一方面，可以让两算符无限靠近，两算符融合成一个算符。这时关联函数是融合系数与融合后的算符的单点关联函数的积。而这两方面的考虑必须等价。所以得到一个单点关联函数的代数方程。这个代数方程称为两点体域场的因子化条件。　　第二，开弦和闭弦的世界面对偶导致的Cardy条件。开弦与闭弦之间的对偶是由于弦世界面的时间方向和空间方向是可以互换的。因而考虑连接着两个D-膜的开弦。如果让它的时间方向上形成一个闭合圈，然后置换时间和空间，那么得到的图象就是闭弦从一个D-膜上传播到另一个D-膜。所以从开弦角度看这是一个开弦态的迹。而从闭弦角度看这是一个闭弦产生，传播和湮灭的过程。从两方面考虑也是等价的，所以可以得到一组相应的代数方程，这个方程称为Cardy条件。　　本文中，我们处理了Nappi-Witten群背景空间中有边界的共形场论。在分析中我们仍然要求边界保持流代数的所有对称性。由于有边界的共形场论的任意点关联函数都能转化为单点关联函数，而D-膜的分类也依赖于单点关联函数，所以我们的目标是找到边界的合理的表示方式使得单点关联函数能够直接计算。我们先从开弦角度出发。由于边界的存在，原来在闭弦中的两组流就不再是独立的了。事实上左手部分和右手部分的某种线性组合后的总流在边界上必须等于零。这样守恒流只剩一组。由于边界必须保持共形对称性，而共形对称的流是由手性流按Sugawara形式构成的，所以总流中的左手流和右手流的线性组合不再是任意的。在这里由于我们考虑的是保持所有对称性的边界，所以左右手性流的线性组合方式会受到更强的限制。所有对称性保持的条件等价于总流的算符积能够实现Nappi-Witten仿射李代数。与以往工作不同的是，我们这里的线性组合方式是场相关的。所以在计算过程中必须额外考虑组合方式对应的粘合矩阵中的场与左右手性流之间的算符积。我们找到了两组满足条件的粘合矩阵。其中一种来自Nappi-Witten群的内自同构。另外一种同时考虑了群的内自同构和外自同构作用。得到了合理的粘合矩阵后，我们转换到闭弦图象考虑。从而边界条件就转化为流的模式分量作用于边界态的形式。我们发现边界态可以用自由场的方式明显写出来。之后可以用边界态很方便的计算单点关联函数。