随着科学技术的迅猛发展,偏微分方程被用于描述越来越多的物理学、化学、地质、材料等实际问题。由于大多数偏微分方程的精确解很难用解析形式表示,诸多学者纷纷从数值算法的角度对偏微分方程进行研究,设计了各种各样的数值算法。众所周知,很多偏微分方程自身都具有一些原问题的本质特征。如何设计高效、稳定且保持方程本身特性的数值算法,成为数值算法的重要目标。1.能量守恒和质量守恒不仅是力学系统的重要守恒量,也是评价一个数值算法好坏的重要标准。因此,构造保能量守恒和质量守恒的算法引起了诸多科研工作者的兴趣。我们发现,相关的基于有限差分方法和谱配置方法的工作已有较多的积累,本文尝试基于Galerkin谱元算法讨论保结构算法。我们证明了基于线性元半离散耦合非线性薛定谔方程的Hamiltonian性质。随后,我们严格证明了 Galerkin谱元算法保离散能量守恒律和质量守恒律。我们利用插值理论、投影理论等,证明了 Galerkin谱元算法的收敛性。为了提高计算效率,我们采用矩阵对角化方法和快速算法,对Galerkin谱元算法进行显式化处理,减少计算规模。最后,数值实验表明新算法不仅能得到较好的数值解,而且能保质量守恒和能量守恒。通过与文献中已有算法比较,本文算法能更好地保质量守恒和能量守恒。2.辛守恒是哈密尔顿系统的最重要的几何性质。早在1984年,冯康先生提出了辛算法的概念。辛算法在解的稳定性、有效性以及长时间精确模拟解的行为方面有出色的表现。因此,文献中出现了很多哈密尔顿偏微分方程辛算法的研究成果。据我们所知,多数辛算法主要基于有限差分方法、小波方法、Fourier拟谱方法,而没有基于Galerkin有限元的辛算法。文献中关于二维哈密尔顿系统的辛算法讨论也很少。另外,我们发现辛算法主要是隐式的,这会很大程度影响计算效率。因此,本文我们尝试为二维非线性薛定谔方程构造Galerkin分裂辛算法,即在空间方向用Galerkin有限元方法离散得到一个哈密尔顿半离散系统,再利用Strang分裂方法将半离散系统分裂成两个子系统,一个是线性哈密尔顿子系统,一个是非线性子系统,其中利用辛中点在时间方向离散线性子系统,而对非线性子系统精确求解,从而得到一个保辛的全隐的数值算法。考虑计算规模比较大,我们引入FFT技术和矩阵对角化方法,将数值算法进行显式化处理,克服了隐式算法计算效率低的弱点。我们理论证明了 Galerkin分裂辛算法的稳定性及守恒性。最后,数值实验表明新的算法不仅能得到较好的数值解,而且能保系统的质量守恒。通过与文献中已有数值算法的比较,展现了 Galerkin分裂辛算法具有计算效率高等优势。3.目前基于Hamiltonian保结构算法已经很多的工作。我们尝试对带能量耗散的偏微分方程进行保结构算法的研究。带能量耗散的偏微分方程方程包含更多的动力系统,并且应用更为广泛,如:Birkhoffian动力系统,高震荡系统,共形Hamiltonian系统等。接下来,我们主要考虑带能量耗散的Cahn-Hilliard方程。不可压缩多相流问题是多材料混合流体力学系统中的热门问题。Cahn-Hilliard方程是处理不可压缩多相流自由界面问题的最常用的相场模型。能量耗散是相场模型系统的重要性质。目前,文献中已有大量关于Cahn-Hilliard方程的研究成果。我们注意到已有的成果主要基于全局能量耗散的性质。本文,我们发现Cahn-Hilliard方程具有一个局部能量耗散的性质。局部能量耗散性质不依赖于任何边界条件,能最大程度保留了原系统的信息。基于这一发现,我们利用复合构造方法和离散变分导方法,尝试为Cahn-Hilliard方程构造了三个局部保结构算法,严格证明了三个算法保局部能量耗散的性质。当给定合适的边界条件时,三个算法保全局能量耗散的性质也得到了证明。最后,数值实验表明新的数值算法不仅能得到较好的数值解,而且保系统能量耗散的性质和质量守恒。4.对Cahn-Hilliard方程已有的大量数值研究成果研究发现,显式的数值算法易于计算,但往往对步长有一定的限制,而隐式的数值算法一般会影响计算效率,但通常保全局能量耗散性质。因此,保能量耗散的线性隐的数值算法成为较好的选择。因此,学者们尝试为Cahn-Hilliard方程构造线性隐的保全局能量耗散的算法。目前,凸分裂方法、线性稳定化方法和能量二次化方法是构造线性隐式的全局保能量耗散算法最常用的方法,而基于保局部能量耗散性质构造线性隐式的数值算法仍是空白。因此,本文我们尝试为带变系数的Cahn-Hilliard方程构造线性隐的保局部能量耗散的算法。类似的,我们证明了带变系数的Cahn-Hilliard方程具有一个局部能量耗散性质。基于这一发现,本文我们利用能量二次化方法与复合构造方法,尝试为带变系数的Cahn-Hilliard方程构造了四个线性隐的保局部能量耗散的算法,并利用离散莱布尼兹法则,理论上严格证明了新算法保局部能量耗散的性质。当给定适当边界条件时,我们证明了新算法保全局能量耗散和质量守恒的性质。