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本文主要研究标准线性系统和广义线性系统的鲁棒性极点配置问题。我们针对这两种系统实特征值和复特征值的情况,将正规性偏离度和正规性偏离度与反馈矩阵的F范数的组合作为鲁棒性度量,分别提出了相应的Schur-Newton算法和修正的Schur-Newton算法,以求得使鲁棒性度量值最小的状态反馈矩阵,同时我们的算法对特征值的结构没有任何限制。
对标准线性系统x(t)=Ax(t)+Bu(t),我们求状态反馈控制u(t)=Fx(t),使得闭环系统x(t)=(A+BF)x(t)具有预先给定的特征值。基于扰动分析中的Bauer-Fike定理和Henrici定理,我们首先以正规性偏离度作为鲁棒性度量,将Schur型算法的计算结果作为初始值,再用Newton法对此结果进行修正,使得所得结果为局部最优。大量的数值试验证明,我们的Schur-Newton算法相比于其它一些算法不仅可以保证正规性偏离度值最小,而且也在其他一些鲁棒性度量方面与已有的一些算法的计算结果有可比性。
类似地,对广义线性系统Ex(t)=Ax(t)+Bu(t),我们亦求状态反馈控制u(t)=Fx(t)-Gx(t),使得闭环系统(E+BG)x(t)=(A+BF)x(t)具有预先给定的特征值。基于扰动分析中的广义Bauer-Fike定理和广义Henrici定理,我们同样以正规性偏离度作为鲁棒性度量,首先将Schur型算法推广到广义系统上,并将其计算结果作为初始值,再利用Newton法对此初值进行修正,使得所得结果为局部最优。通过数值试验可以看出,我们的Schur-Newton算法可以保证得到的闭环系统矩阵具有最小的正规性偏离度。
为使我们的算法具有更强的实际应用性,我们又以正规性偏离度与反馈矩阵的F范数的组合作为新的鲁棒性度量,对标准线性系统和广义线性系统提出了修正的Sehur-Newton算法。此算法不仅可以满足实际工程应用中的更多要求,还具有更容易求取初始值的优点。更进一步地,在本算法的Newton迭代中,每一步的Jacobi矩阵均具有良好的条件数,我们可以充分利用其结构特点来加速算法。而大量的数值试验也证明,修正的Schur-Newton算法可以保证求得的闭环系统矩阵具有最小的新的鲁棒性度量值,而且求得的状态反馈矩阵的F范数亦很小。