设（此处公式省略）是完全模群，H为上半复平面.拉普拉斯算（此处公式省略）关于（此处公式省略）的谱分解有如下形式（此处公式省略）,其中C是常函数构成的空间，（此处公式省略）是 M aass尖形式空间，（此处公式省略）是由不完整的艾森斯坦级数生成的空间.　　令（此处公式省略）是在（此处公式省略）空间中具有拉普拉斯特征值（此处公式省略）的Hecke-Maass形式的一组标准正交基.那么％具有如下形式的傅里叶变换（此处公式省略）,（此处公式省略）其中（此处公式省略）,（此处公式省略）是 Hecke算子T n的第n个特征值，（此处公式省略）,是 Whittaker函数，且（此处公式省略）是K-Bessel函数，其中（此处公式省略）.　　为了方便，在本文中，我们令f是具有拉普拉斯特征值（此处公式省略）的Maass形式，将f正规化，使其傅里叶系数首项为1,则f的傅里叶展开式为（此处公式省略）我们定义关于f的L-函数为（此处公式省略）时，级数（此处公式省略）收敛（网)（此处公式省略）满足函数方程，并且可以解析延拓到整个复平面（[1]).应用K. Chandrasekharan和R. Narasimhan([2])中的一个定理，我们可以得到（此处公式省略）　　由柯西不等式，我们有（此处公式省略）这个上界是引理2.5成立的条件.定义（此处公式省略）可化为（此处公式省略）.广义Ramanujan猜想（此处公式省略）是（此处公式省略）.关于这一猜想，目前最好的结果是由K i m和Sarnak([10],[11])得到的（此处公式省略）,由此，我们可以得到（此处公式省略）,其中（此处公式省略）是除数函数.　　当（此处公式省略）时，我们定义（此处公式省略）为满足下面式子的所有（此处公式省略）的上确（此处公式省略）,其中（此处公式省略）（此处公式省略）常数依赖于f和e.自然地,我们要找m(a)的下界，这在 f的傅里叶系数的均值估计中有一些应用.1989年，A. Ivic([4])对全纯尖形式对应的L-函数研究了类似的问题，并且得到当（此处公式省略）时，（此处公式省略）的下界为（此处公式省略）.　　在本文中，我们再研究当（此处公式省略）时，Maass尖形式对应函数（此处公式省略）的结果，其中当（此处公式省略）时，我们将得到和全纯尖形式中一样的结果，不同点是我们不知道Mass尖形式对应的Ramanujan猜想是否成立,这就为我们在利用引理2.11和引理2.12中求下界时增加了困难.（此处公式省略）时，（此处公式省略）要比在（此处公式省略）中的结果稍差一些，这是因为在（此处公式省略）的情形，我们能够运用指数和（指数对）理论，而在L(s,f)中却不可以.　　定理1.1.m⑷如上式中所定义，当（此处公式省略）时，我们有（此处公式省略）.应用定理1.1,我们还给出（此处公式省略）的2阶，4阶以及6阶的渐近公式.2　　定理1.2.对任意的（此处公式省略）,当（此处公式省略）时，我们有（此处公式省略）,　　(1.3)（此处公式省略）,　　(1.4)（此处公式省略）,　　其中　　是关于Xf和它本身的Dirichlet卷积；（此处公式省略）式和（此处公式省略）式分别在（此处公式省略）和0（此处公式省略）时成立.