边值问题是非线性微分方程理论中一个活跃而丰硕的研究领域,在物理、生物、医学、天文、经济等领域中有着广泛的应用。人们发现,许多问题往往只有弄清了解的性质,特别是正解的存在性时,才能将理论应用到实际。因此,边值问题正解存在性的研究逐渐成为研究热点。在非线性泛函分析理论及实际问题的推动下,对微分方程边值问题正解的存在性的研究形成了许多新的研究方向,如奇异边值问题、多点边值问题、具p-Laplace算子边值问题等。现实世界中,受数据采集、研究内容等问题的限制,得到的模型大多是离散的,如著名的种群模型、Volterra-Lotka捕食食饵模型等。近几十年来,差分方程的边值问题也受到越来越多人的关注。时间尺度上动力系统的研究,把连续与离散系统统一了起来。更重要的是,时间尺度上动力方程的一般性和复杂性,大大丰富了动力系统的内容,它不仅为我们的研究提供了新的强有力的理论工具,而且使我们能够更清楚地理解连续与离散系统以及其它复杂系统中的本质问题。本文主要研究时间尺度上几类动力方程边值问题正解的存在性,并给出了一些新的存在性定理。论文由四章组成,主要讨论了具p-Laplace算子动力方程多点边值问题正解的存在性,具p-Laplace算子Sturm-Liouville型动力方程边值问题正解的存在性,一类分数阶微分方程边值问题正解的存在性,一类偶数阶中立型差分方程最终有界正解的存在性及一类非线性泛函微分方程的振动性。第一章简述了问题产生的历史背景,前人的经典结果和本文的主要工作,并给出了本文用到的一些基本定义和引理。第二章研究了一类时间尺度上动力方程的多点边值问题。第一节利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理得到问题至少存在一个正解的若干充分条件。第二节利用Avery的新不动点定理(Avery-Henderson不动点定理)给出问题至少存在两个正解的若干充分条件。第三节利用Leggett-Williams不动点定理建立问题至少存在三个正解的若干充分条件。第三章研究了具p-Laplace算子Sturm-Liouville型动力方程边值问题。利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理,Avery-Henderson不动点定理,Leggett-Williams不动点定理详细讨论了问题至少存在一个、两个及三个正解的充分性。我们的结果对具p-Laplace算子Sturm-Liouville型差分方程边值问题也是新的。第四章第一节研究了一类分数阶非线性微分方程边值问题正解的存在性问题,利用Green函数的性质和Guo-Krasnosel’skii不动点定理,通过对该类分数阶非线性微分方程边值问题特征值取值范围的讨论,得到问题至少存在一个正解的几个充分条件。第二节了研究一类具连续变量偶数阶中立型时滞差分方程,利用Lebesgue控制收敛定理给出这类方程存在最终有界正解的一个充分必要条件,得到相应新的比较定理。第三节给出一类二阶非线性泛函微分方程振动的若干判据。