斑图(pattern)是指在空间上或者时间上，具有某种规律性的非均匀的宏观结构.自然界普遍存在着各种各样的斑图结构，所以我们才能看到这个五彩缤纷的世界.因而了解为什么会有斑图的形成，斑图是怎样形成的等问题，对于揭开自然界形成之谜具有重大的意义.1952年，英国著名的数学家图灵(Alan MathionTuring)，在其著名的论文《形态发生的化学基础》中，成功地用一个反应扩散模型说明了某些生物的体表所显现的图纹，如斑马身上的斑图是怎样形成的.随着时代的发展，这一理论已经引起了化学、物理学、数学、生物学等学科的国内外众多研究者的兴趣和重视.如今，这一理论已然成为了反应扩散理论中最基础的理论之一.　　一般地在数学上，我们把Turing斑图动力学系统的数学机制的描述为:常微系统的稳定常数平衡态在加入扩散后会发生稳定性反转，从而在其附近就会产生图灵斑图.　　本文在绪论第一节中具体介绍了斑图动力学理论的背景来源，并且在第二节中给出了Lyapunov稳定性理论，然后在第三节、第四节分别给出了一维空间和n维空间自由扩散系统Turing不稳定发生的条件，第五节中给出了进行分叉理论研究的准备知识.当前的研究基本只是对Turing不稳定系统何时出现分叉进行了一些研究，但是具体出现的分叉曲线是什么样子，对分叉解的稳定性如何没有什么深入的探索，所以本文主要针对这两个问题进行了研究.在第二章中，对一维空间自由扩散系统当Turing不稳定发生时，根据Crandall-Rabinowitz分叉理论研究了发生分叉的条件及其能够发生分叉的点，并对分叉点处的局部分叉解进行了研究，然后给出了相应的局部分叉图，在第三节中详细说明了局部分叉解的稳定性.在第三章第一节中，对n维空间自由扩散系统能否发生分叉进行了讨论，第二节我们以二维矩形区域上的自由扩散系统为例，分析了其分叉出现的条件，并对第一特征值处的局部分叉曲线作了详细研究，最后在第四章中对本文的研究进行了总结.