【摘 要】
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本文介绍了连分数的收敛因子分母的增长情况及二次无理数的Levy常数.在无理数的研究中,连分数发挥了重要作用.每一个无理数x都有唯一的无穷连分数展式.可用收敛因子序列(( ))
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本文介绍了连分数的收敛因子分母的增长情况及二次无理数的Levy常数.在无理数的研究中,连分数发挥了重要作用.每一个无理数x都有唯一的无穷连分数展式.可用收敛因子序列(( ))逼近无理数x ,由丢番图不等式知,当( )q nx→∞时,序列(( ))收敛到x ,这个不等式说明如果( )q nx迅速增长,则(( ))q x将是x的很好的逼近.P. Levy指出,一般情况下收敛因子的分母q n呈n的指数增长,即几乎所有的无理数x,其Levy常数存在,且为一常数π.所以Levy常数不存在或者存在但不等于π的数构成一个零测集. Faivre证明了二次无理数的Levy常数存在,并用遍历理论证明了该零测集中的元素的Levy常数在中稠密. Baxa进一步说明了这个零测集含有不可数多个元素. J. Wu改进了这个结果,求出了该零测集的Hausdroff维数的下界,本文在此基础上用一个更简单的方法证明了Baxa的注,并介绍了用求该零测集的Hausdroff维数的下界同样的方法证明二次无理数的Levy常数在??? log 52+ 1,+∞????中稠密.
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