当今世界,金融衍生工具的发展状态呈爆炸式,它们为个体投资者、公司进行资金和风险管理提供了崭新的可能方案和越来越大的灵活度。但无论金融工具多么先进,本身都具有相当高的风险性,因此能够更加形象、具体地认知和掌握这些金融衍生产品就显得刻不容缓了。本文以现今金融市场上最为常见的衍生品——美式期权为例,对偏微分方程,运用同伦分析方法求解美式期权定价问题中关键的自由边界问题,从而得出美式期权价格的近似解。我们将分三个章节来详细讨论期权定价问题,具体内容概括为：在第一章中,主要介绍了什么是期权定价问题,何为B.S定价模型,并给出了当今此类问题的研究近况。在第二章中,对美式认购期权模型进行无量纲化,将其转化成为一个线性抛物型二次偏微分方程。然后,构造出符合模型金融含义的同伦方程,并偏微分方程的求解条件给出合理的初始猜测解,使得这个自由边界问题变化成多个我们已可解决的固定边界问题。在第三章中,在求解问题之前,对方法进行收敛性分析,并给出方法的合理性条件,进行数值实验得出算例形式解。最后分别分析五种典型变量(包括原生资产现价、敲定价格、波动率、无风险利率、股息)对美式期权价格的影响。