信号处理在各个领域的应用中一直占有重要地位，特别是随着现代生活的信息膨胀，对数据进行更简洁的表示成为了一个热点问题。信号的稀疏表示是二十世纪九十年代初提出的一种新兴的信号表示方法，作为一种信号的基础研究，它在人脸识别、图像去噪、图像复原、波达方向估计、盲源分离等领域都有很重要的意义。稀疏表示最初提出是伴随着一种新的贪婪算法出现的，而后学者们又对其不断完善，在对其数学模型进行研究的过程中产生了各种新的评价准则和分解算法。本文对信号的稀疏表示基本技术进行了研究和学习，主要在分解算法和字典学习，并将其用在经典的图像去噪问题中。首先介绍稀疏表示的国内外研究现状，并且对该课题现在面临的主要问题及难点进行阐述。最后从信号逼近理论出发给出稀疏表示的数学模型，度量标准和一些重要定理。本文重点对基于l_p范数的稀疏分解算法进行研究，其中SL0算法是从一种全新的角度对稀疏问题进行实现，在算法中引进了一个连续函数和控制因子，在理想情况下对他们进行操作后，得到的算法就可以求解原来的非凸优化问题。本文实现的主要内容如下：在对SL0算法的研究中，首先对算法中的重要参数进行实验分析，并根据实验得到的数据来设置SL0算法中的参数。然后将稳定的SL0算法与其他凸优化方法进行比较，实验结果证明SL0算法在运行速度和信号重构质量上具有优势。在得到一个稳定的SL0算法后，将其用于稀疏表示的另一重要研究领域，即字典学习。字典学习算法中的K-SVD字典训练算法由于其具有较低的计算成本，因而更具有实用性，但是原算法中是使用OMP算法进行稀疏编码，得到的是固定数目的表示系数，这样不能保证在不同的应用中的字典质量，所以采用SL0算法来进行K-SVD算法的稀疏编码，改善编码质量。因为稀疏表示是对信号的本质刻画，更能够体现信号的特点，所以可以将稀疏表示应用于图像去噪。具体方法采用贝叶斯最大后验估计(MAP)方法求解原图像的一个估计结果，从而得到去噪图像，并将此算法与性质良好的非局部均值滤波去噪进行对比。实验结果证明了基于稀疏表示的图像去噪算法在去噪的质量上更加优越。