投资组合和期权定价是现代数理金融理论的两大研究主题,经典的投资组合问题研究通常是建立在Markowitz均值方差模型的基础上;而经典的期权定价问题研究则是利用无套利定价原理探讨合理的期权定价问题。本文主要从不同角度讨论两个问题:一是利用熵度量投资组合风险,且考虑交易费用的情形,研究基于交易费用的熵度量风险的投资组合模型;二是利用Tsallis熵分布和跳扩散过程来描述股票价格的运动轨迹,推导幂式期权定价和幂式多项式期权定价模型。在投资组合模型研究上,用熵度量投资组合风险,并借鉴单一指数模型分解风险的思想,把单只股票的熵分解成系统性风险的互信息熵与非系统性风险的条件信息熵的和,建立了均值—熵模型。接下来,结合我国证券市场的实际情况,考虑了股票交易费用的影响,建立了新的投资组合模型,并选取上证50指中具有行业代表性的股票进行实证研究。一方面,对比考虑交易费用前后的熵模型在相同收益率水平下的有效前沿,得出未考虑交易费用的熵模型显然低估了组合风险;另一方面,将熵模型与传统的均值—方差模型作比较,实证结果表明熵模型选出的股票投资组合风险更低。在期权定价模型研究上,采用最大化Tsallis熵分布和一类更新跳跃过程描述标的资产价格的运行规律,结合随机微分及鞅方法,在风险中性条件下,导出了基于最大化Tsallis熵分布及跳扩散过程的幂式期权定价模型,并进一步推导了幂式多项式期权的定价公式。