【摘 要】
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Laplace方程Cauchy问题是严重不适定的问题,其源自科学和工程应用中的许多分支,比如无损伤探测,静态逆热传导,心电学.本文我们主要研究了Laplace方程Cauchy问题的基本解方法
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Laplace方程Cauchy问题是严重不适定的问题,其源自科学和工程应用中的许多分支,比如无损伤探测,静态逆热传导,心电学.本文我们主要研究了Laplace方程Cauchy问题的基本解方法的收敛分析,并应用基本解方法和Tikhonov正则化方法求解Laplace方程逆阻抗问题.本文第二章和第三章分别讨论有界单连通区域和圆环形区域上的Laplace方程的Cauchy I司题.对于有界单连通区域和圆环形区域上的Cauchy问题,应用结合变分的基本解方法进行求解,在有界单连通区域和圆环形区域上分别得到了稳定的正则解.根据Laplace方程Cauchy I司题的全局条件稳定性和条件稳定性,在适当的正则化参数选取和解的先验界假设下,给出了他们对应的收敛分析；对于上述两种区域上的Laplace方程Cauchy问题,数值计算结果也验证了上述方法是有效和稳定的.本文第四章我们讨论了Laplace方程逆阻抗问题.对于逆阻抗问题,我们首先结合基本解方法和Tikhonov正则化方法将其转化为优化问题,然后应用共轭梯度法求解极小化问题,在迭代的过程当中通过比较不同的停止准则,尝试给出既精确又稳定的正则解.最后,数值计算结果验证了我们方法的有效性.
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