【摘 要】
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角动量矢量算子是SU(2)群的生成元。我们已经知道SU(2)群的生成元的有限维不可约表示可以通过引入一对旋量来构建。给定两个独立的角动量矢量算子J1和J2,我们可以研究总角动量矢量算子J=J1+J2的本征态和本征值。Clebsch-Gordan(CG)系数是总角动量的本征态按两个相互独立的角动量的共同本征态展开的展开系数。由此我们可以设想将旋量代数法推广到SU(2)群的CG系数的计算中去:具体地说
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角动量矢量算子是SU(2)群的生成元。我们已经知道SU(2)群的生成元的有限维不可约表示可以通过引入一对旋量来构建。给定两个独立的角动量矢量算子J1和J2,我们可以研究总角动量矢量算子J=J1+J2的本征态和本征值。Clebsch-Gordan(CG)系数是总角动量的本征态按两个相互独立的角动量的共同本征态展开的展开系数。由此我们可以设想将旋量代数法推广到SU(2)群的CG系数的计算中去:具体地说,是通过分析旋量间的耦合,来求解SU(2)群的CG系数。这种方法可能会比传统计算SU(2)群CG系数的方法简单一些。在本论文中,我们通过引入两对独立的旋量构建了两个独立角动量的非耦合表象下的一般共同本征态,即J12,J22,J12,J2z的共同本征态Ψj1j2,m1m2。之后,我们利用了反对称张量的性质,构建了一个自旋为零的不变量(?)(ζαβζδηβ)j1+j2-j。根据这个不变量,我们可以非常容易地构建耦合表象中的Ψj1j2,jj态在非耦合表象基矢下的线性展开式;这里Ψj1j2,jj是J2,Jz,J12,J22的当j=m时的共同本征态,j的取值范围是|j1-j2|≤j1+j2.而这个Ψj1j2,jj态在传统求解SU(2)群CG系数的方法中则需要足够的耐心做冗长的计算才可以得到。根据Ψj1j2,jj态,我们可以很容易计算出耦合表象下的一般态,即J2,Jz,J12,J22的一般共同本征态Ψj1j2,jm在非耦合表象下的线性展开式,进而可以用非常少的步骤即可计算出CG系数。我们用这种旋量代数方法成功的导出了 SU(2)群CG系数的最一般的表达式。这个表达式和前人的推导出来的显示表达式是完全一致的。我们最后举了一些简单的实例,对本论文的方法进行了详尽的解释和验证。
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