Finsler度量的历史可以追溯到1854年黎曼的就职演说，然而黎曼很快将注意力集中于具有二次型表示的度量——黎曼度量．第一位系统探讨更一般的度量空间的是P．Finsler，在他的博士论文中（[32]），成功地建立起了一般度量空间上的曲线、曲面理论．自此，“Finlser几何”的名称被广泛接受．之后，随着联络和曲率理论的发展，Finlser几何日臻成熟．另一方面，复Finsler度量概念的正确引述可能归功于G．Rizza（[52]）．作为复Finsler度量的重要例子，复流形上的内蕴度量在复几何研究中扮演着重要角色．20世纪90年代以来，在陈省身先生的倡导下，Finsler几何获得了长足的发展．许多新的几何量被发现，涌现了众多优秀的工作（[8]，[12]，[58]，[17]，[60]，[50]，[24]等等）．伴随着基础理论研究的发展，Finsler几何也被广泛应用于诸如物理学、生物学、信息与控制论和心理学等学科当中．本文主要探讨Finsler度量的某些曲率性质．主要内容分为三部分，分别讨论Einstein-Hilbert泛函、实Randers度量和复Randers度量．Einstein-Hilbert泛函Einstein度量是黎曼几何中具有重要意义的一类度量（[20]）．就物理或变分角度而言，Einstein度量是Einstein-Hilbert泛函的临界点．设（M，g）为n-维黎曼流形，其数量曲率记为Rg，则Einstein-Hilbert泛函可以表示为其中dμM是（M，g）的体积元．沿着这一思路，我们尝试在Finsler几何中作相应的推广．早在1995年，法国几何学家H.Akbar-Zadeh就从变分角度做了尝试（[5]）．然而不幸的是，由于他没有考虑到变分张量的可积性（参见[10]），因而得到的张量特征是有问题的．之后的十余年，未见有任何进展．在陈省身先生提出Finsler几何中Einstein度量存在性问题，以及David Bao建议了相应的Ricci流之后，研究Einstein-Hilbert泛函的临界点就显得尤为重要了．在Finsler流形（Mn，F）上，通过Chern联络或者Berwald联络建立起的曲率理论，导出了包括旗曲率、Ricci曲率和Landsberg曲率在内的许多重要几何量[14]．其中旗曲率是截面曲率的推广，Ricci曲率是旗曲率的某种平均，而Landsberg曲率则是重要的非黎曼几何量．鉴于几乎所有的几何量都依赖于方向的选取，切丛TM和射影球丛SM取代了黎曼几何中底流形M的角色．利用SM上的Sasaki度量，我们将Einstein-Hilbert泛函推广为其中Ric是Finsler度量F的Ricci曲率，dμSM是SM上Sasaki度量的体积元、Vol（SM）是SM的体积．根据积分求迹公式，可以验证对于黎曼度量而言该泛函就是原来的Einstein-Hilbert泛函．推导泛函（0．1．2）的Euler-Lagrange方程并研究临界度量的性质是第二章的主要工作．在临界方程推导中，除了计算的复杂性之外，关键在于散度公式以及一个Green-型积分公式．前者最早由Akbar-Zadeh在局部坐标下给出，后来莫小欢、沈一兵-张彦利用活动标架法简化了证明：后者的一种特殊情形最先被贺群-沈一兵发现，而我们则证明了一般情形：引理0．1．1．设ψ和ω是SM上两个光滑函数，则其中(gij)是基本张量（gij）：=（1/2[F~2]yiyj）的逆．利用上述公式，可以避免文献[5]中变分张量的可积性问题，从而得到正确的临界点方程．定理0．1．1．Einstein-Hilberg泛函（0．1．2）的Euler-Lagrange方程为其中r=1/Vol（SM）∫SMRic dμSM是Ric在SM上的平均值，J=Jidxi是平均Lands-berg张量，“|”和“；”分别表示Chern联络的水平和竖直共变导数，而“·”则表示沿Hilbert方向求导．定义0．1．1．满足方程（0．1．4）的Finsler度量称为ε-临界度量．由定理0．1．1可以发现，Finsler几何中的临界度量不仅与Ricci曲率有关，也与非黎曼量Landsberg曲率有关，从而Einstein条件（Ricci曲率是常数）不足以使（0．1．4）成立，另一方面，Riemann-Einstein度量是临界的，于是黎曼几何中的Einstein度量是ε-临界度量．那么是否存在非黎曼的ε-临界度量呢?下面给出两个例子．例0．1．1设α是Ricci平坦的黎曼度量，β是平行1-形式．则Randers度量F=α+β是ε-临界度量．例0．1．2设（M，g）和（N，h）是两个Ricci平坦的黎曼流形，则在乘积空间M×N上，度量是ε-临界的．其中函数这里ε是非负实数，k是正整数．（参见[66，60]）利用某些Ricci恒等式以及球丛SM上的分析，我们得到下述刚性定理．定理0．1．2．设M是紧致无边的光滑流形，F是M上具有常正旗曲率和常S-曲率的Finsler度量．则F是ε-临界度量的充要条件为F是常正曲率的黎曼度量．这里所谓的S-曲率是沈忠民在研究体积比较定理时发现的，它是体积畸变沿着测地线的变化率．S-曲率在现代Finsler几何研究中有着重要意义．例如．如果F是可逆的，则[38]证明了常正旗曲率和零S-曲率已经蕴涵着F是黎曼度量．由定理0．1．2可知，即使具有极好的曲率性质，也未必是ε-临界度量．因此．Einstein-Finsler度量与ε-临界度量的关系就是一个重要的问题．这里给出两者在曲面上的一个联系．命题0．1．1．紧致无边曲面上，旗曲率非正的Einstein-Finsler度量是ε-临界的．命题0．1．2．设F是曲面上的ε-临界度量．若其Landsberg曲率是水平常数，则F是Einstein-Landsberg度量．进一步，若F的旗曲率非零，则其必为黎曼度量．Randers度量1941年，G．Randers在研究相对论时，为了讨论时空中类时方向的不对称性而引进了Randers度量（[51]）．它具有简洁的形式其中aij（x）dxi（?）dxj是黎曼度量，bi（x）dxi是1-形式．正是基于这种简单表达，Randers度量成为了Finsler几何里最令人感兴趣的一类度量．近年来，通过一系列的工作，如[17]、[27]、[16]、[35]以及[63]等等，人们对Randers度量有了更深入的理解．第三章首先讨论了ε-临界的Randers度量．利用Zermelo导航技术，文献[17]分类了常旗曲率的Randers度量．特别地，常旗曲率的Randers度量必然具有常S-曲率．从而，作为定理0．1．2的直接推论，有命题0．1．3．紧致无边流形上具有常正旗曲率的ε-临界Randers度量必为黎曼度量，从而是常正曲率黎曼度量．该命题可以视为球面上标准度量的某种刚性：在向量场的挠动下度量不再是临界的．另一方面，例0．1．1给出了非平凡的临界点，它们属于Berwald-Randers度量．顺便指出，对于Randers度量而言，弱Landsberg、Landsberg和Berwald是等价的．那么，究竟怎样的Berwald-Randers度量是临界的呢?利用Randers度量的黎曼曲率公式（[16]），我们得到命题0．1．4．Berwald-Randers度量F=α+β是ε-临界度量，当且仅当它为下述情形之一：（1）α是Einstein度量，β=0；（2）α是Ricci平坦的黎曼度量．其中，第一类是Riemann-Einstein度量，第二类正是例0．1．1所述之度量．注意到Calabi-Yau流形是Ricci平坦的，因此第二类有着丰富的例子．从另外一个角度来看，该命题给出了Calabi-Yau流形在Finsler几何中的一个重要意义：它们在特定挠动下仍是临界度量．第三章还讨论了具有截面旗曲率的Randers度量．如前所述，旗曲率是Finsler几何中最重要的几何量．它出现于弧长第二变分，是了解测地线结构的关键．点x处的“旗”包括“旗杆”y∈TxM和包含y的“旗面（截面）”Π．一般地，若Π由{y，V}张成，则（y，Π）的旗曲率记为K（x，y，V）．因为这不依赖于V在截面Π中的选取，所以旗曲率也记为K（x，y，Π）．Finsler度量称为具有数量旗曲率，如果其旗曲率不依赖于截面而只依赖于旗杆的选取，即K（x，y，Π）=K（x，y）．具有数量旗曲率的Finsler度量已经得到了较好的理解，特别是Randers度量．文献[48]证明了具有负数量旗曲率的Finsler度量必为Randers度量（dim≥3）．随后，文献[63]刻画了此类Randers度量的特征方程．利用Zermelo导航术，[28]完全解决了具有数量旗曲率和迷向S曲率的Randers度量分类问题（dim>3）．那么一个自然的问题是，如果旗曲率只依赖于截面而与旗杆选取无关会怎样?即K（x，y，Π）=K（x，Π），旗曲率可以约化为二平面Grassmann丛G2（M）上的标量函数．我们称此种度量为具有截面旗曲率．显然，黎曼度量具有截面旗曲率，因此这是一个非黎曼条件．此外，常旗曲率度量显然也满足该条件．那么自然要问：除了黎曼度量和常旗曲率度量之外，是否有非平凡的例子?我们研究了具有截面旗曲率的Randers度量．对于曲面情形，具有截面旗曲率等价于具有迷向旗曲率，即Einstein曲面．而Einstein-Randers曲面已经完全分类（[16]），因此我们仅关注高维情形并得到如下刚性定理．定理0．1．3．维数大于2的光滑流形上，非黎曼的Randers度量具有截面旗曲率的充要条件是它具有常旗曲率．因此，就Randers度量而言，该问题就此解决．对于一般度量，最近[30]证明了一些负曲率刚性和弱Landsberg刚性结果．复Randers度量与实Randers度量的成熟研究相比，复Randers度量的研究现在只处于起步阶段．复Randers度量是形如的复Finsler度量，其中aij（z）dzi（?）dzj是Hermite度量,bi（z）dzi是（1，0）-形式．最早的基础工作应属文献[7]．本文第四章主要讨论复Randers度量的两个重要性质：联络的线性性和全纯曲率的刚性．因为黎曼面上的复Finsler度量必为Hermite度量，故本文所讨论之流形的复维数均大于一．实Finsler几何中，如果一个度量的Berwald联络是线性的，则称该度量为Berwald度量．1981年，利用Berwald度量与Riemann度量具有相同和乐群，Z．Szabó对Berwald度量做了一个漂亮的分类定理（[66]）．1996年，T．Aikou提出了复Finsler几何中Berwald度量的定义：复Finsler度量称为Berwald度量，如果它具有线性Berwald联络，并且是Kahler-Finsler度量（[2]）．这里所谓的Kahler度量的定义来自文献[8]．那里将Kahler性（联络的对称性）分为三个层次，即强Kahler、Kahler和弱Kahler．在本文第一章中，强Kahler和Kahler被证明是等价的，定理0．1．4．Kahler-Finsler度量必为强Kahler度量．因此，在复Finsler几何中仅有两种Kahler条件，即Kahler和弱Kahler．如所知，实Randers度量是Berwald度量的充要条件是β关于α平行（[45]）.对于复Randers度量而言，我们得到下述定理．定理0．1．5．复Randers度量F=α+|β|是Berwald度量，当且仅当α是Kahler度量，且β（?）β关于α平行．此时，F与α具有相同的和乐群．例0．1．3设M为一Kahler流形，T为复一维的平环．在T上取平行向量场β，令α为T×M的直积度量．则F=α+|β|是T×M上的Berwald度量．除和乐群之外，全纯曲率KF（z，v）是极为重要的几何量．全纯曲率迷向是指KF（z，v）=KF（z）．Kahler几何中，迷向全纯曲率具有刚性．那么对于Kahler-Finsler度量，迷向全纯曲率是否仍然具有刚性?本文讨论了一类特殊的Kahler-Finsler度量——复Berwald-Randers度量．其难点在于计算复Randers度量的全纯曲率KF（z，v）．经过复杂的计算，在得到了全纯曲率公式之后，我们发现复Berwald-Randers度量也成立类似的刚性定理．定理0．1．6．具有迷向全纯曲率的复Berwald-Randers度量必为Kahler-Hermite度量或局部Mincowski度量．整体地，有定理0．1．7．设M为一单连通复流形，F=α+|β|是M上完备的复Berwald-Randers度量．若F具有迷向全纯曲率，则其必相似于下述度量之一：（1） M=CPn,F是Fubini-Study度量；（2）M={z∈Cn：|z|<1}，F是Bergman度量;（3）M=Cn，α是欧氏度量且β（z，v）=β（0，v）eiθ（z），其中θ（z）是M上的实函数．另一方面，根据曲率表达式，讨论由α为Kahler度量、β为全纯1-形式构成的复Randers度量很有意义．利用简单的消末定理，可得如下刚性定理．命题0．1．5．设Mn是紧致无边复流形，F是由α为Kahler度量、β为全纯1-形式构成的复Randers度量．如果kF（z，v）>0，则F是Kahler-Hermite度量．最后，我们给出几个具有不同曲率性质的复Randers度量的例子．例0．1．4 C2n上，令α~2=δABdzA（?）dzB，β=∑i=1nzi+ndzi-zidzi+n．则F（z，v）=α+|β|的全纯曲率为零．例0．1．5令α为单位球△1（?）Cn上的Bergman度量β是模长小于一的全纯形式，如β=∑zidzi．则F（z，v）=α+|β|的全纯曲率KF≤-1/4．例0．1．6在CPn中取充分小的球△ε（?）Cn，令α为Fubini-Study度量β=bidzi，其中bi是常数．则在△+ε上有KF>0．