微分方程Dirichlet边值问题是微分方程边值问题中比较典型的一类问题.对此问题，很多文献用拓扑度理论和不动点指数理论（参见文献[16]-[23]），或用Morse理论（参见文献[24]-[31]），或用临界点理论(参见文献[3]，[5]，[6]，[7],[9]-[15])为工具已经获得许多有关解的存在性及多解性的结果.对本文有所启发值得指出的是文[3]，[5]，[6],[8],[9].　　文[5]将文[3]所建立的新的临界点理论运用到四阶常微分方程Dirichlet边值问题中，得到了方程存在四个解，六个解的结果;受文[5]的启发，本文第一章进一步研究如下4m阶常微分方程Dirichlet边值问题:{ u(4m)=f(t，u),t∈[0,1]，(1.1.1)u(2i)(0)=u(2i)(1)=0,i=0,1,2,…,2m-1,其中f∈C([0，1]×R1)，运用文[6]将各类微分边值问题转化为算子方程的方法，得到了如下主要结果:　　定理1.3.5假设下列条件成立:　　(H1)若问题(1.1.1)存在一对严格上下解α＜β，且α，β都满足问题(1.1.1)中的边值条件;　　(H2) f(t，u)关于u严格递增;　　(H3) f(t，u)关于u Lipschitz连续;　　(H4)存在μ＞2，M＞0，使得0＜μF(t，u)≤uf(t，u)，t∈[0，1]，|u|≥M，这里F(t，u)=fu0f(t，v)dv，则问题(1.1.1)至少存在四个解.　　定理1.3.8若条件(H2)-(H4)成立，且　　(H5)α1＜β1，α2＜β2分别是问题(1.1.1)的两对严格上下解，且都满足问题(1.1.1)的边值条件，则问题(1.1.1)至少存在六个解.　　文[8，定理3.20，4.2，p.65-73]运用极小极大原理研究一类二阶椭圆型方程得到了基态解，无穷多解的存在性结果;本文第二章和第三章中运用文[8]的方法研究如下2m阶常微分方程Dirichlet边值问题:{(-1)mu(2m)=f(t，u)，t∈[0，1]，(2.1.1)u(2i)(0)=u(2i)(1)=0,i=0,1,2,…,m-1,其中f∈C([0，1]×R1)，分别得到了如下结果:　　定理2.3.4若对f做如下假设:　　(H6)存在C0＞0，使得|f(t，u)|≤C0(|u|+u|p-1)，(t，u)∈[0，1]×R1，其中p＞2;　　(H7) f(t，u)=o（u），u→0，对t∈[0，1]一致成立;　　(H8)存在α＞2，使得αF(t，u)≤uf(t，u)，（t，u）∈[0，1]×R1;　　(H9)存在R＞0，使得 inf t∈[0,1],|u|＞R F(t，u)＞0;　　(H10)任给t∈[0，1]，f(t,u)/|u|关于u严格递增，则问题(2.1.1)在C2m[0，1]中有一基态解.　　定理3.3.2若f(t，u)=μ|u|q-2u+λ|u|p-2u，则对所有μ＞0，λ∈R1，问题(2.1.1)有一列非平凡解{un}∞n=1，使得ψ（un）＜0，且有ψ（un）→0，n→∞.　　定理2.3.4和定理3.3.2是关于2m阶常微分方程Dirichlet边值问题解的存在性的新的结果，是本文的创新之处.