【摘 要】
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群环的零因子图的研究涉及到数学中许多领域：环论,群论,半群论,域论,图论和初等数论等.如此众多的学科交叉在一起,使它不但具有吸引力和趣味性,而且也有许多内在的困难.使用图的性质研究代数系统,已成为近20年来数学研究的一个热点问题,引发了很多有趣的结果和问题.本文分为五个部分,第一部分为引言,第二至第四部分各为一章,是本文的核心,最后部分是小结以及进一步研究的问题.第一章中我们概述了零因子图发展的历
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群环的零因子图的研究涉及到数学中许多领域：环论,群论,半群论,域论,图论和初等数论等.如此众多的学科交叉在一起,使它不但具有吸引力和趣味性,而且也有许多内在的困难.使用图的性质研究代数系统,已成为近20年来数学研究的一个热点问题,引发了很多有趣的结果和问题.本文分为五个部分,第一部分为引言,第二至第四部分各为一章,是本文的核心,最后部分是小结以及进一步研究的问题.第一章中我们概述了零因子图发展的历史,研究现状以及本文的研究背景,同时我们还给出了环论和图论的一些基本的概念.第二章中我们研究了群环ZnS3的零因子,并对ZnS3的有向零因子图Γ（ZnS3）的直径、围长进行了较为具体的刻画.这些结果对我们后面的研究是非常有用的.本章的主要结果已经在《广西师范大学学报》12（4）（2010）上发表.主要结果如下：定理2.3设Zn为模n剩余类环,S3为3次对称群,R=ZnS3,则R的零因子为定理2.4设Zn为模n剩余类环,S3为3次对称群,R=ZnS3,n>1,则（1）diam（Γ（R））=2（?）n=3t,t≥1;（2）diam（Γ（R））=3（?）n≠3t,t≥1.定理2.5设Zn为模n剩余类环,S3为3次对称群,R=ZnS3,n>1,则gr（Γ（ZnS3））=3.定理2.6设Zn为模n剩余类环,S3为3次对称群,R=ZnS3,n>1,则Γ（ZnS3）是非平面图.第三章在第二章的基础上,将环推广到任意的非零有限交换环R上,我们对群环RS3的代数性质及其结构进行了研究,给出了较为具体的刻画,并对RS3的零因子图的直径、围长、平面性进行了刻画.主要结果有：定理3.4设R为特征为pr的有限环,S3是三次对称群,若（p,2）=（p,3）=1,则diam（Γ（RS3））=3.定理3.6设R为有限环,S3为三次对称群,则qr（Γ（RS3））=3.定理3.7设R为有限环,S3为三次对称群,则Γ（RS3）为非平面图.第四章将三次对称群推广到m次对称群,当p（?）m!时,对ZpSm做一些有意义的探索,初步刻画了ZpSm的代数结构,并对其围长及平面性进行了具体的刻画.定理4.2设Zp为模p剩余类环,Sm为m次对称群,当p（?）m!时,有ZpSm≌Zp（?）Zp（?）△（Sm,Am）定理4.4设Zn为模n剩余类环,Am为m次交错群,若m≥4,则gr（Γ（ZnAm））=3.定理4.5设Zn为模n剩余类环,Sm为m次对称群,若m≥3,则gr（Γ（ZnSm））=3.定理4.7设Zn为模n剩余类环,Am为m次交错群,若m≥4,则Γ（ZnAm）)为非平面图.定理4.8设Zn为模n剩余类环,Sm为m次对称群,若m≥3,则Γ（ZnSm）为非平面图.
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