二阶微分方程在科学研究和工程技术等领域有着广泛的应用，然而只有少数问题有解析解，多数实际问题需要数值求解。能否得到适当精度和可靠的数值解在很大程度依赖所用的数值方法。当前计算机技术高速发展——CPU运算速度的大幅提高，大容量高速存储器的出现，高质量数学软件的研发，大大地开阔了人们使用数值方法进行研究的领域和深度。而且各类复杂微分方程的大量出现使现有的数值方法远远不能满足需要，开发高精度、高稳定、高效率的针对不同具体问题的数值方法是目前计算科学的迫切任务之一。本硕士论文研究的课题是：以解Duffing方程为目标，发展新的具有高精度、宽稳定区域、高效率适合求解非线性二阶微分方程的数值方法。为了得到尽可能高的精度，尽可能宽的稳定区域，尽可能高的计算效率，确定了以包含最高到6阶微商的Obrechkoff五步方法为主要结构的数值方法。在完成这个方法的研究中，做了以下的工作： 1)发展了一种具有高精度(高达14阶(O(h14)))和高效率的主结构。 2)得到非常宽的稳定区间(0，16.28)。 3)设计了具有特殊结构的高精度一阶微商公式，研究了一阶微商公式在Obrechkoff方法中扮演的角色。 使用该方法计算Duffing方程数值解的精度比以前的方法提高了约4个数量级。而且由于采用了一种特殊的主结构，避免了低效率的迭代计算，和以前的方法相比，所用的CPU时间减少到原来的五分之一，效率提高了5倍。另外还发现了一阶公式在多步Obrechkoff中的重要作用——它与主结构一样可以决定数值方法的精度。