在现实生活中,大量的问题涉及到强或弱的间断性现象。如在材料科学和流体力学中所建立的偏微分方程往往涉及两种或多种具有不同密度、导电性或渗透性的材料或流体,我们一般称这类模型问题为界面问题。在这篇论文中,我们将分别研究椭圆界面问题的匹配有限元方法,椭圆界面问题的非匹配有限元方法,以及Stokes界面问题的非匹配有限元方法。在第一部分中,文章考虑用匹配有限元方法求解椭圆界面问题。我们提出了一种基于分片网格的界面罚有限元方法处理椭圆界面问题,此方法不允许界面穿过网格单元内部,但允许被界面划分的不同区域使用不同的网格尺寸。在不同的区域中分别用连续分片p次多项式空间逼近,而界面上的跳量条件用加罚技巧处理。为了使误差不依赖于系数比和网格尺度比,我们在该方法中采用了关于系数和网格尺寸的调和加权平均。文中分别对对称和非对称的界面罚方法进行了详细的分析。通过分析得到误差估计是最优的,且不依赖于系数比和网格尺度比。进一步,我们分别基于能量误差和数值流的L2误差分析了最优网格尺度,分析表明对某些问题,自由度固定时,最优网格尺度下的逼近效果比一致网格好。数值实验分别对直线界面及曲线界面验证了所提界面罚有限元方法的理论分析。在第二部分中,文章从非匹配有限元方法的角度求解椭圆界面问题。在不考虑界面位置的情况下做三角网格剖分,在此基础上我们提出了一种非协调扩展有限元方法来求解椭圆界面问题。此方法允许界面穿过网格单元的内部。被界面划分的不同区域的局部解分别用扩展的非协调线性多项式逼近。该方法在界面单元上的基函数是双重基函数。我们用加罚技术处理界面跳量条件及被界面分割的边上的间断性。在界面上我们采取扩散系数的调和加权平均,在被界面分割的边上我们采取算术平均。而且,我们在双线性形式中添加了额外的稳定项来保证双线性格式的稳定性和所得到的矩阵具有良好的条件数。我们证明了误差估计的收敛阶是最优的,且独立于系数比。最重要的是,我们证明了条件数不依赖于界面相对于网格剖分的位置。数值结果表明了我们的扩展有限元方法的有效性。在第三部分中,我们将第二部分所提出的非协调元的扩展有限元方法应用于求解Stokes界面问题。被界面划分的不同区域的局部解分别用扩展的多项式逼近,即用扩展的向量形非协调线性多项式逼近速度解,用分片常数逼近压力解。我们添加额外的速度和压力的稳定项来保证稳定的inf-sup条件。最后证明了速度的能量误差和L2误差,及压力的L2误差的收敛阶是最优的;而且不依赖于粘性系数比。数值试验分别从连续问题和界面问题两方面验证了方法的正确性及有效性。