【摘 要】
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本文着重研究了Baskakov—Kantorovich算子的保形问题,该算子是Baskakov算子在可积函数空间中的一种修正形式。Baskakov算子的定义如下: Vn(f;x)=sum from k=0 to ∞ f(k/n)vn,k(X) vn,k(x)=Cn+k-1kxk(1+x)-(n+k)其中Cn+k-1k=((n+k-1)!)/((n-1)!k!).该算子有概率表示Vn(f;x)
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本文着重研究了Baskakov—Kantorovich算子的保形问题,该算子是Baskakov算子在可积函数空间中的一种修正形式。Baskakov算子的定义如下: Vn(f;x)=sum from k=0 to ∞ f(k/n)vn,k(X) vn,k(x)=Cn+k-1kxk(1+x)-(n+k)其中Cn+k-1k=((n+k-1)!)/((n-1)!k!).该算子有概率表示Vn(f;x)=Ef((NxUn)/n),这里(Nt)t≥0是标准的Poisson随机过程,(Ut)t≥0是与(Nt)t≥0独立的Gamma随机过程,而Ef(ξ)表示随机变量ξ在函数f下的数学期望。正是基于该算子的这一概率表示,文献[2]-[5]运用概率的方法证明了Baskakov算子具有:保单调性、保凸性、保光滑性和单侧逼近性等保形性质。这里所谓的单侧逼近性质是指:如果函数f下(上)凸,那么算子列{Vn(f;x)}单减(单增)逼近它。 Baskakov算子的Kantorovich变形(即Baskakov—Kantorovich算子)为: (?)n(f;x)=n sum from k=0 to ∞ integral from k/n to (k+1)/n f(t)dtvn,k(x) 本文共分七部分,前五部分主要讨论了Baskakov—Kantorovich算子(以下简称B-K算子)的保形问题,得到了该算子保形性质的一系列结果: 1.B-K算子保持原函数的单调性和凸性(定理2.1与定理2.2); 2.如果函数f(x)满足条件:x-1f(x)不增,那么x-1(?)n(f;x)不增;但若x-1f(x)不减,此时x-1(?)n(f;x)不一定增(定理3.1); 3.如果f是[0,∞)上的连续函数,且f(0)=0,则f是[0,∞)上的下半可加增(上半可加减)函数就意味着对一切是[0,∞)上的下(上)半可加函数(定理3-3); 这里f是[0,∞)上的上半可加(下半可加)函数是指:有f(x+力之f(x)+f(力(f(x+力‘f(x)+f(力4,若厂平均下(上)凸,则平均函数F一(x)是下凸(上凸)的;若厂是 叹平均星形(当x一’乓(x)不增时)的,则x一’F一(x)不增;若厂是平均下半可加增(平均上半可加减),则有Fx是下 蛛(上)半可加的.这里f的平均函数是指F厂(X)一士ff(t)功(定理4·卜定理4 .3); 5.B一K算子不具有单侧逼近性质.但该算子的一阶光滑模受控于原函数的一阶光滑模,并且若光滑模函数是凹函数时,最佳常数c=1,一般情形c二2(定理5.1一定理5.2). 在互6中我们还讨论了一类Durrmeyer积分型正线性算子的保单调性和保凸性问题.这一类算子包括Bern、tein一Durrmeyer算子、Baskakov一Durrmeyer算子以及sz如zes-Mirakjan一Durrmeyer算子. 在本文的最后一部分即圣7中,给出了Meyer一Konig and Zeller算子的Durrmeyer变形的雅克比多项式核表示.
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