设f(z)是全模群SL2(Z)的权为偶数k≥2的本原全纯模形式，这里我们用本原全纯模形式来表明f(z)是全体Hecke算子Tn的共同特征函数，记H*k为它们的集合。本原全纯模形式f(z)在无穷远尖点∞处有Fourier展式f(z)=∞∑n=1λf(n)n(k-1)/2 e2πinz((s)z＞0).这里正规化了的λf（n）是Hecke算子Tn的特征值。对f∈H*k，定义S(l)(f;x):=∑n≤xλf（n）(l)，其中(l)∈N且x≥1。　　本文研究了S(l)(f;x)的渐近性质.Lau，Lü&Wu[28]证明了S(l)(f;x)=xP(l)(logx)+Of，ε（xθ(l)+ε）（3≤(l)≤8），其中P4(t)，P6(t)，P8(t)是次数为1，4，13的多项式，P3(t)，P5(t)，P7(t)恒等于0.并且θ3=7/10=0.7，θ5=13/43=0.93023…，θ7=176/179=0.98324…，θ4=151/175=0.86285…，θ6=175/181=0.96685…，θ8=2933/2957=0.99188….他们证明的关键在于L(s，symmf)的良好性质，这些卓越工作在Kim&Shahi-di的著作[11]中.本文作者深入学习Rankin-Selberg方法和对称幂L-函数的性质，利用G(l)(s)分解成一系列广义低次L-函数的乘积的表达式（见Lau，Lü& Wu[28])，应用不同于[28]的Riemannζ-函数的亚凸性界，得到更加精细的结果.对于e=4，6，8，作者证明如下定理:∑ n≤xλf(n)4=xP4(logx)+Of,ε(x0.86062…+ε),∑n≤xλf（n）6=xP6(log x)+Of,ε(x0.96613…+ε),∑n≤xλf(n)8=xP8(log x)+Of,ε(x0.99177…+ε)。　　本研究分为四个部分：第一章系我们系统地介绍了问题的背景并给出了主要结果。第二章我们给出了Rankin-SelbergL-函数，m次对称幂L-函数和广义L-函数的定义和本文用到的预备知识。第三章我们介绍了相关引理，主要是把G(l)(s)分解成Riemannζ-函数和广义低次L-函数的乘积并介绍了它们的亚凸性界。第四章我们利用Perron公式和第三章的相关引理证明了最终结果。