最优化问题是计算数学研究中的一个重要课题,在社会生产与发展的多个方面,都有重要的应用前景.目前有许多求解优化问题的算法,其中对投影梯度法与Newton法的研究受到了广泛的关注.本文研究了投影梯度法在求解分离可行性问题中的重要作用,给出了一种求解多集合分离可行性问题的投影梯度法并研究了其收敛性.同时还研究了Newton-Steffensen法求解非线性算子方程时的三阶收敛性.主要内容由以下两个部分构成.第一:对于投影梯度法,我们研究了其全局弱收敛性.具体地说,我们给出了一种用于求解多集合分离可行性问题的自适应步长的投影梯度法.同时,对于多集合分离可行性问题中的闭凸集是由一系列凸函数的水平集给出的这一特殊情形,也给出了一种松弛的自适应步长的投影梯度法.我们建立了上述算法的全局弱收敛性.特别地,作为运用,说明了[J.Optim.Theory Appl.166,844-860(2015)]中介绍的循环迭代法和同时迭代法是本文所给出的投影梯度法的特殊情形.第二:对于Newton-Steffensen法,我们研究了其三阶收敛性.具体来说,当非线性算子F的一阶导数满足L-平均Lipschitz条件时,我们研究了由Newton-Steffensen法迭代生成的序列的三阶收敛性质,并在此条件下,建立了Newton-Steffensen法的三阶收敛判据.进一步,我们还研究了其局部收敛性质,并对其收敛球的半径进行了估计.特别地,作为应用,当F’满足经典的常数Lipschitz条件或F满足γ-条件时,我们分别建立了 Newton-Steffensen法的三阶收敛判据并对收敛球半径进行了估计,说明了[Journal of Nonlinear and Convex Analysis.19,433-460(2018)]中的研究结果是本文的一个特例,因此本文的结果是对过去相关研究成果的推广.