本论文主要研究了以下两个方面的内容。一是讨论了随机薛定谔方程解的适定性,包括解的爆破性质和整体解的存在性和唯一性；二是用贝叶斯惩罚B样条方法给出了几类常微分方程模型中参数(常值参数以及时变参数)的估计.关于这些问题的研究背景和动机我们在第一章中给予介绍。微分方程的数学理论研究在物理学,医学,生物学,金融学等应用科学中发挥着重要作用。薛定谔方程是一类特殊的微分方程,其在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用.然而,在现实生活中,很多事情都是不确定的,是受随机因素干扰的,本文在第一部分考虑了在噪声影响下的薛定谔方程即随机薛定谔方程的解的动力学性质。具体来说,在第二章,我们讨论了在可加噪声和二次位势双重作用下,随机薛定谔方程解的爆破性质,我们得到了不管位势是排斥型还是吸引型,任意有限能量的初值均可能产生爆破解,并且爆破时间可以任意小.这与确定型薛定谔方程不同,对确定性方程来说,排斥型位势具有阻止解爆破的效应。因此,这部分结果表明,噪声对薛定谔方程解的动力学行为的影响比位势的影响要强。与爆破性质对应的,我们在第三章讨论了在Stratonovich型乘积噪声影响下的薛定谔-泊松方程组整体解的适定性。与确定型薛定谔-泊松方程组不同的是,我们建立了随机意义下的交换子估计,进而得到了薛定谔-泊松方程组整体解的存在性和唯一性。在研究随机薛定谔方程适定性的过程中我们发现,方程中的参数对解的动力学性质产生了重要影响,甚至不同参数会导致方程具有完全不同的动力学行为。这就提示我们在应用微分方程的数学理论之前,应当首先确定微分方程中的参数.为此,本文第二部分提出了一种非参数统计方法——贝叶斯惩罚B样条法,根据观测数据去估计微分方程模型中的参数,这其中包括估计常值参数和时变参数两种情形。我们在第四章中介绍了贝叶斯惩罚B样条法的一般理论,并且考虑了对于2×2的线性方程组及非线性方程组(Lotka-Volterra模型),在所有状态变量的观测数据均已知的情形下,用贝叶斯惩罚B样条法,对模型中含有的参数进行估计,模拟结果表明该方法对模型中的参数估计有效。流行病模型是微分方程中应用较多且与现实生活关系较为密切的一类模型,在本文的第五章我们考虑了流行病模型中参数的估计问题。估计此类模型中的参数与第四章中参数的估计最大的不同是：对于流行病模型,我们通常只有部分状态变量甚至只有一个状态变量的观测数据。本文在只有一个状态变量的观测数据情形下,首先通过数值模拟对Kermack-Mckendrick模型中的参数进行估计,发现此时贝叶斯惩罚B样条法仍然有效,并且比最小二乘法的估计效果好,其次,我们还做了一个实例研究。即,利用国家卫生和计划生育委员会公布的中国大陆从2004年1月到2014年12月共132个月的患丙肝疾病的人数的数据,对Zhang和Zhou在2012年针对中国大陆丙肝疾病提出的丙肝(HCV)流行病模型中的参数进行估计,估计结果表明贝叶斯惩罚B样条方法在只有部分状态变量的数据可观测时,对模型中的参数估计仍然有效。众所周知,微分方程中含有的参数通常会随着时间的变化而变化,我们称之为时变参数。我们在上述研究的基础上,在本文的第六章,又进一步考虑了用贝叶斯惩罚B样条法对模型中的时变参数进行估计,与常值参数估计的不同之处是,我们需要首先将待估的时变参数利用B样条进行展开,将时变参数转化为常值参数,然后再进行估计。本文通过模拟对HIV模型中的时变参数进行估计,说明了贝叶斯惩罚B样条法对微分方程中时变参数的估计仍然有效,同时还通过对Hong和Lian文中模型的时变参数进行估计,说明了对于该模型贝叶斯惩罚B样条法较比两阶段局部多项式法有较高的估计精度。