混合有限元方法和迭代方法分别在微分方程数值解法与均衡问题中扮演着重要的角色.本文主要围绕几类非线性发展方程的H1一Galerkin扩展混合有限元方法和均衡问题的迭代方法这两个方面开展研究工作.H1一Galerkin扩展混合有限元方法是H1一Galerkin昆合有限元方法和扩展混合有限元方法两种方法相结合而提出的一种混合元方法.该方法既保持了扩展混合有限元方法的优点,同时也保持了H1一Galerkin混合有限元方法的特点,能够同时高精度逼近未知纯量函数,梯度和流量.有限元空间的选取不需要满足LBB条件.均衡问题已被广泛应用于物理学,力学,现代控制,非线性规划和经济均衡等诸多领域.在均衡问题的研究中,构造寻求均衡问题,变分不等式和不动点问题的公共解的迭代算法以及该算法的收敛性分析是当今热点之一.本文的另一个目的是研究寻求这些问题的公共解的迭代算法及其应用.本文的结构安排如下：1.第一章介绍了研究背景并且给出本文的主要工作.2.第二章利用扩展混合有限元方法和H1一Galerkin混合有限元方法相结合的技巧,研究了非线性伪抛物积分微分方程的H1一Galerkin扩展混合有限元方法.该方法同时保持了扩展混合元方法和H1一Galerkin混合元方法的优点.证明了半离散混合有限元解的存在唯一性,并得到了未知纯量函数,梯度和流量的半离散格式最优收敛阶误差估计.最后,数值结果表明了算法的可行性.3.第三章研究了非线性粘弹性方程的H1一Galerkin扩展混合有限元方法.该方法同时保持了扩展混合元方法和H1一Galerkin混合元方法的优点.证明了半离散混合有限元解的存在唯一性,并得到了未知纯量函数,梯度和流量的半离散格式最优收敛阶误差估计.4.第四章对广义Benj amin-Bona-Mahony-Burgers方程初边值问题提出线性隐式平均差分迭代格式,该格式是收敛的并且是无条件稳定的.通过能量方法得到有限差分逼近解的二阶收敛性.数值试验显示该格式是有效的.5.第五章运用黏性逼近法,在Hilbert空间中引入一种新的迭代算法,用以寻求均衡问题的解集和无限簇ki-强伪压缩映像的不动点集的公共元.在适当的条件下,证明了该算法所生成的序列强收敛于这一公共元.并将该算法应用到最小问题.数值试验显示该算法的有效性.6.第六章运用黏性混合最速下降算法,在Hilbert空间中引入一种新的迭代格式,用以寻求均衡问题系统的解集,无限簇ki-强伪压缩映像的不动点集,非扩张半群的不动点集和两个带松弛余强制变分不等式的不动点集的公共元.在适当的条件下,证明了由此格式所产生的序列是强收敛的.该结果改进和推广了已知的相应结果.7.第七章运用混合最速下降算法,在Hilbert空间中引入一种新的迭代格式,用以寻求均衡问题系统的解集,无限簇ki-强伪压缩映像的不动点集,变分包含组的解集,伪压缩映像的不动点集,非扩张半群的不动点集和变分不等式的不动点集的公共元.在适当的条件下,证明了由此格式所产生的序列是强收敛的.该结果改进和推广了已知的相应结果.