算子论是泛函分析中一个极其重要的研究领域，幂等算子及算子的Drazin逆是近年来算子论中比较活跃的研究课题.对它们的研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支，诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼近论，优化理论与量子物理等，通过对它们的研究可使算子结构的内在关系变得更加清晰，同时也使得有关算子论课题的研究具有更坚实的理论基础. 本文研究内容涉及Hilbert空间中的两个幂等算子的线性组合，路径连接以及Hilbert空间中算子的Drazin逆三个方面的内容.全文共分三章，主要内容如下： 第一章根据空间分解理论及算子矩阵分块的技巧，给出了Hilbert空间中幂等算子与正交投影算子的几何表示，并以此为工具，系统的研究了无限维Hilbert空间中幂等算子线性组合的性质，刻画出B(H)中两个幂等算子P和Q的线性组合λ1P+λ2Q保持幂等性的充分必要条件，其中λ1与λ2为非零复数，从而推广了文献[1]中J.K.Baksalary与O.M.Baksalary的结论.值得指出的是，我们通过严密的推理得出，[1]中定理的条件P1P2≠P2P1是非必要的. 第二章主要讨论在无限维Hilbert空间中，两个同伦的幂等算子的连通性问题.由于在此问题的探讨中，由Z.V.Kovarik于1977年提出的Kovarik公式有着举足轻重的作用.因此在本章第二节中，我们深入讨论了Kovarik公式及其广义Kovarik公式的性质特征.随后，我们以此为工具，借助算子矩阵分块的技巧，给出了无限维Hilbert空间中两个同伦的幂等算子在(s)(P,Q)≤2时所满足的充分必要条件，这里的(s)(P,Q)表示在幂等算子的全体P中连接从P到Q，同时满足连接从Q到P的保持幂等性的最小的线段个数，此时的条件相比[26]中J.Giol给出的条件要更弱一点，文中我们做了具体的证明. 第三章致力于研究定义在Hilbert空间中算子的Drazin逆.运用算子指标理论及空间分解理论，并借助于[35]中Hilbert空间上有界线性算子Drazin逆的表示，我们证明了在无限维Hilbert空间中两个算子P与Q在PQ=0的条件下，P+Q是Drazin可逆的，并给出其相应的Drazin逆的表达式，从而将[40]中的结论推广到无限维Hilbert空间.