稀疏信号恢复问题是近年来新兴的研究方向—压缩感知中研究和讨论的重要问题之一,这里稀疏指信号的绝大多数元素为零.它在信号处理、医学成像以及雷达系统等利用了信号或图像稀疏特征的跨学科领域中都有着广泛的应用,近年来得到了高度的关注和深入的研究.本篇博士论文对稀疏信号恢复问题的几类快速重构算法及在图像处理中的一些应用进行了系统研究,包括对经典的正交匹配追踪算法和交替方向乘子法的分析及改进、针对解析稀疏恢复问题和全变分模型而设计的快速重构算法等.　　首先,本文研究了保证正交匹配追踪算法精确恢复稀疏信号的充分性条件.正交匹配追踪算法作为贪婪算法的主要代表,具有计算量小、重构速度快等优点,但该算法在重构稀疏信号时常会失败.因而本文给出了一个最佳的充分性条件,证明了在无噪声情形下,该充分条件能保证正交匹配追踪算法精确恢复k稀疏信号.由于等距约束常数的计算是NP难的,因此本文还给出来一个可计算的充分性条件,并证明了该条件是最佳的.此外,针对信号中有些非零分量可能相对较小的情况,本文还证明了正交匹配追踪算法在选取到这些较小的非零分量前将优先选取出那些更有意义的较大的非零分量.最后,若对停止准则进行改进,则可保证正交匹配追踪算法将不会选取到不正确的无关变量.　　其次,鉴于稀疏信号恢复问题的凸松弛模型在很多情况下都可以被交替方向乘子法类型的算法很好的解决.针对交替方向乘子法,本文给出了一个求解带线性约束的两块可分的凸优化问题的带相对误差的交替方向乘子法.该方法的设计,受到了已有的非精确临近点算法和非精确增广拉格朗日乘子的启发.该算法只需要两个固定正参数来控制子问题的求解误差,克服了以往非精确交替方向乘子法需一个可和的无穷正序列来控制求解误差而带来的实际计算困难.在原问题的KKT系统解为非空时,本文证明了该算法是全局收敛的.此外,针对稀疏信号恢复中的?1/?1规则化问题,本文也进行了初步的数值试验.相应的数值结果表明,本文提出的非精确交替方向乘子法比经典的交替方向乘子法高效.　　再次,本文提出了一个新的用于求解解析稀疏恢复问题的光滑化加速交替极小化方法.该方法具有简单高效、快速收敛以及能被灵活应用到其他各种类型的重构问题中等优点.该方法的设计结合了本文建立的经典的交替极小化方法同邻近梯度法间的联系, Moreau临近光滑化技巧以及加速的邻近梯度法.本文对该算法的收敛性进行了分析,证明了仅需要O(1/?)步迭代该算法可得到?最优解.接着,本文使用该方法求解了一类解析稀疏恢复问题和图像重构问题,并和已有的最新的求解程序进行了比较.基于随机生成的数据和真实图像的数值试验表明,该算法比经典的交替极小化方法有更快的收敛速度,同时也比最新的求解程序效率高.　　最后,利用经典的二次罚函数方法,本文给出一个新的分解的加速极小化算法来求解基于全变分的图像去噪去模糊问题,该算法具有收敛快和计算简单的优点.本文建立了该算法同加速的邻近梯度法之间的等价性,证明了该算法可在O(1/?1.5)步迭代后可得到问题的?最优解.对于求解各类模糊图像的恢复问题,初步的数值试验表明该算法比经典的交替极小化方法有更快的收敛速度,同时比已有的最新求解程序效率高.