本文主要研究如下高阶周期边值问题解的存在性与多解性:｛Lu(t)=f(t,u(t))，t∈[0，1]，(1.1)u(i)(0)=u(i)(1)， i=0，1，…，2m-1，其中Lu(t)=（-1）mu(2m)(t)+∑mi=1（-1）m-iaiu（2（m-i）)(t)为2m阶线性微分算子，ai∈R1,i=1,2,…,m,f∈C1([0,1]×R1,R1)。本研究由三章构成，第一章为引言;在第二章，我们介绍了一些预备知识，以及我们的主要结果用到的一些引理、定理;在第三章，我们给f加上一些条件，得到了问题(1.1)至少有一个非平凡解，有限多个解以及无限多个解的存在性定理。最近许多文章研究周期边值问题和方程组解的存在性与多解性，例如，文章[1，2，3，4]和[5，6，7，8，9].在文章[1]中，Y.Li运用不动点指数理论和极大值原理，获得了四阶周期边值问题正解的存在性.后来，在文章[4]中，通过运用强单调算子原理和临界点理论， F.Li，Y.Li，Z.Liang获得了问题(1.1)有唯一解，至少有一个非平凡解，有无穷多个解的存在性定理。　　本研究用文章[4]中的方法将问题(1.1)转化为积分方程.然后运用Morse理论，在跨特征值的情形下，我们得到了问题(1.1)非平凡解的存在性.这用普通的不动点指数理论和临界点理论是很难得到的。同时，我们给f加上一些条件，运用Morse理论，获得了问题(1.1)多解的存在性定理。我们的方法不同于以上文章。将{（P（2kπi））}∞k=0从小到大排列，记为λ0≤λ1≤λ2≤…，其中P(x)=（-1）mx2m+ m∑i=1(-1)(m-i)aix2(m-i)是微分算子L的特征多项式.我们假设下面条件在本文始终成立：(H0) P(2kπi)=(2kπ)2m+∑mi=1 ai(2kπ)2(m-i)≠0，k∈{0，1，2，…}。定理3.1.若λ(∈){λk}∞0，假设f满足条件：(H1) lim|x|→∞ f(t，x)/x=λ关于t∈[0，1]是一致的；(H2)f(t，0)=0，fx（t,0）=η关于t∈[0，1]是一致的；(H3)存在λn∈{λk}∞0，使得或者η＜λn＜λ或者λ＜λn＜η.则问题(1.1)有一个非平凡解。定理3.2.假设条件：(H4)存在n∈N，使得λn＜fx(t，0)＜λn+1，t∈[0,1]：(H5)存在i∈N，使得λi＜f∞(t)＜λi+1，t∈[0，1]，其中f∞(t)=lim|x|→∞f(t，x)/x存在且关于t∈[0，1]是一致的.若|n-i|≥2m，则问题(1.1)至少有两个非平凡解。定理3.3.假设：(H6)存在μ∈(0，1/2)，R＞0，使得对t∈[0,1]，|x|≥R，有0＜F(t，x)≤μxf(t，x)+（μ-1/2）cx2；(H7) f(t,x)=-f(t，-x),(t,x)∈[0,1]×R1.则问题(1.1)有无穷多对解.。定理3.4.假设f满足条件(H4)和(H6).则问题(1.1)至少有一个非平凡解。定理3.5.假设f满足条件(H4)和条件。(H8)存在a，b∈ R1且a＜λ0/2，使得F(t,x)=∫x0f(t,y)dy≤ax2+b,(t,x)∈[0,1]×R1.则问题(1.1)至少有三个解。