本文主要研究高阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在性与多重性。分三章对一类高阶非线性常微分方程两点边值问题进行了讨论。在第一章中，我们利用锥中的不动点指数理论和反对称延拓法研究六阶非线性边值问题多变号解的存在性.在非线性项满足一定条件时，我们得到边值问题至少存在一个变号解.这部分内容已发表在《山西大学学报》.在第二章中，利用不动点指数理论和Leray-Schauder度我们讨论了2m阶两点边值问题解的存在性和多重性.在非线性项满足一定条件时，我们得到边值问题至少分别存在四个，五个和六个解.在第三章中，我们讨论了带两个参数的四阶边值问题的多解性.利用临界点理论和无穷维Morse理论，我们对非线性项进行一些适当的限制，得到边值问题至少存在一个非平凡解，两个非平凡解，m对不同解和无穷多个解。　　第一章主要讨论以下六阶边值问题(BVP):｛-u(6)(t)=f(u(t)，u"(t),u(4)(t)),t∈[0,1],(1.1.1)u(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=u(4)(0)=u(4)(1)=0,其中f:R3→R1是一个连续奇函数。为方便起见，首先介绍如下记号:s+k={(α，β，γ)∈R3:α，β，γ≥0，α/(kπ)6+β/(kπ)4+γ((kπ)2＞1}，s-k={(α，β，γ)∈R3:α，β，γ≥0，α/(kπ)6+β/(kπ)4+γ((kπ)2＜1}。主要结论如下：定理1.3.1.设f:R3→R1是一个连续奇函数且f:R1+×R1-×R1+→R1+，其中R1+=[0,+∞)，R1-=(-∞，0]。若f满足条件：(B1)k存在（α，β，γ）∈s-k和δ＞0，使得f（u，v，w）≤αu-βv+γw，u，-v，w∈[0，δ]；(B2)k存在(α1，β1，γ1)∈s+k和C＞0，使得f(u，v，w)≥α1u-β1v+γ1w-C， u，-v，w≥0.那么BVP(1.1.1)有一个解uk，其在(0，1)内恰有k-1个零点且符号在[0，1]内改变k-1次。定理1.3.2.设f:R3→R1是一个连续奇函数且f:R1+×R2-×R1+→R1+.若f满足条件：(B3)k存在(α，β，γ)∈s+k和δ＞0，使得f(u，v，w)≥αu-βv+γw，u，-v，w∈[0，δ]；(B4)k存在(α1，β1，γ1)∈s-k和C＞0，使得f（u,v，w）≤α1u-β1v+γ1w+C, u,-v，w≥0.那么BVP(1.1.1)有一个解uk，其在(0，1)内恰有k-1个零点且符号在[0，1]内改变k-1次.　　第二章主要讨论以下2m阶两点边值问题(BVP):｛（-1）mu(2m)(t)=f(u(t)，-u"(t)，…，（-1）(m-1)u(2m-2)(t))，t∈[0，1]，(2.1.1)u(2i)(0)=u(2i)(1)=0,i=0,1,2,…,m-1,其中m是一个大于1的整数，f∈C(Rm，R1)。首先作下列基本假设：(D1)f(θ)=0，当(x1，x2，…，xm)∈Rm+时， f(x1，x2，…，xm)≥0，f(x1，x2，…，xm)(≠)0;且当f(x1，x2，…，xm)∈Rm-时，f(x1，x2，…，xm)≤0，f(x1，x2，…，xm)(≠)0；(D2)f在θ点有连续偏导数.令αi=fxi（θ）＞0，i=1，2,…，m.存在一个正整数n0，使得λn0＜1＜λn0+1，其中1/λn=1/（nπ）2m m∑i=1αi（nπ）2i-2；(D3)存在βi＞0，i=1，2，…，m，使得lim|x1|+|x2|+…+|xm|→+∞|f(x1，x2,…,xm)-β1x1-β2x2-…-βmxm|/|x1|+|x2|+…+|xm|=0.且存在一个正整数n1，使得μn1＜1＜μn1+1，其中1/μn=1/（nπ）2m∑i=1βi（nπ）2i-2.(D4)存在常数T＞0，使得|f(x1,x2，…,xm)|＜2T,0＜|xi|≤T,i=1,2,…,m。主要结论如下：定理2.3.1.设条件(D2)-(D4)成立。(i)若n0和n1都是奇数，则BVP(2.1.1)至少存在两个正解和两个负解。(ii)若n0和n1有一个是奇数，则BVP(2.1.1)至少存在两个正解，两个负解和一个变号解。(iii)若n0和n1都是偶数，则BVP(2.1.1)至少存在两个正解，两个负解和两个变号解。　　第三章主要讨论以下四阶边值问题:｛ u(4)(t)+βu"(t)-αu(t)=f(t,u(t))，t∈[0,1],(3.1.1)u(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=0，其中f∈C1([0，1]×R1，R1)且f(t，0)=0，t∈[0，1];α，β是两个参数，满足α/π4+β/π2＜1，α≥-β2/4，β＜2π2。主要结论如下：定理3.3.1.设(H1)存在λ，μ∈R1且λ＜（π4-βπ2-α）/2，使得F(t,x)=∫x0 f(t,y)dy≤λx2+μ，(t,x)∈[0,1]×R1;(H2)存在自然数m≥1，使得(mπ)4-β（mπ）2-α＜ fx(t，0)＜(m+1)4π4-β(m+1)2π2-α，t∈[0，1].那么BVP(3.1.1)在C4[0，1]中至少有三个不同的解。定理3.3.2.设f满足定理3.3.1的全部条件.又设对于（t,x）∈[0，1]×R1，f关于x是奇函数.那么BVP(3.1.1)在C4[0,1]中至少有m对不同的解。定理3.3.3.设对于(t,x)∈[0，1]×R1，f是关于x的奇函数.且f满足条件：(H3)存在v＞2，M＞0，对于t∈[0,1]，|x|≥M，有0＜vF(t，x)≤xf(t,x)成立。那么BVP(3.1.1)在C4[0,1]中有无穷多个解。定理3.3.4.设f满足定理3.3.1中的条件(H2)和定理3.3.3中的条件(H3).那么BVP(3.1.1)在C4[0，1]中至少有一个非平凡解。