求解Allen-Cahn方程的时间两重网格有限元方法

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为了解决Allen-Cahn方程非线性项产生的耗时问题,本文研究了线性插值和抛物线插值的时间两重网格(TT-M)有限元(FE)方法.此类方法的主要思想是:在粗时间步长上,用牛顿迭代法求解全离散的非线性方程;在细时间步长上,基于线性或抛物线插值法所求得的插值解,将非线性问题转化为线性问题.研究表明,与传统的Galerkin有限元方法相比,线性插值和抛物线插值的时间两重网格(TT-M)有限元(FE)方法能够有效的节省计算时间.具体内容如下:首先,介绍了 Allen-Cahn方程的研究背景及意义.其次,给出了基本定义及引理.然后,采用了基于线性插值的时间两重网格有限元(TT-M FE)方法求解Allen-Cahn方程.在空间上采用有限元方法进行离散,在时间上采用二阶向后差分(BDF)格式.通过理论分析证明了数值解的稳定性和误差估计,并利用数值实验验证了方法的有效性.此外,采用了基于抛物线插值的时间两重网格有限元(TT-M FE)方法求解Allen-Cahn方程.在空间上采用有限元方法进行离散,在时间上采用二阶θ格式.通过理论分析证明了数值解的稳定性和误差估计,并利用数值实验验证了方法的有效性.最后,总结了本文的研究内容和成果,做出了相应的展望.
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