不等式是数学分支的主要研宄内容，在数学各领域都占据着非常重要的地位，其中积分不等式又是不等式的一个重要分支.在很多方程的理论研宄中，虽然多数微分方程无法求出精确的解，但可以通过积分不等式对方程的解进行估计，进而分析解的一些性质.近几十年，随着对积分方程和微分方程的的不断研宄，积分不等式和微分不等式也引起了学者的兴趣，并得到了大量的结果，这些结果为研宄积分方程，差分方程，微分方程，等各类方程的解的有界性、唯一性、存在性、稳定性等性质起了非常重要的作用.从1919年, Gronwall型不等式.194：3年, Bellman推广了 Gronwall不等式，建立了Gronwall—Bellman型不等式.1956年 Bihari把 Gronwall—Bellman不等式从线性推广到非线性.1973年 Pachpatte也建立了一系列不等式.近些年，这些不等式被许多学者进一步研宄和推广，从一元推广到二元，多元，从非时滞推广到时滞，从连续推广到非连续.在这些不等式中，Gronwall- Bellman型不等式是最基础，也是最重要的。　　根据内容本文分为三部分：第一章研究了一元积分不等式的推广及应用；第二章在文献[3][15]的基础上，把其中推广的时滞积分不等式推广到二元的时滞积分不等式；第三章本章中，在文献[32]的基础上，推广了一类更为广泛的不连续函数的积分不等式。