随着现代科学技术与社会的发展，在热传导、生物化工、燃烧理论等方面出现了各种各样的非线性偏微分方程和方程组，这些方程和方程组描述了流体力学、量子力学、航空学、生化力学等领域中的物理现象。　　 这一类方程(组)在时间增加时不一定都有连续解，有些解在有限时刻无界。在实际计算工作中，我们时常会发现解发生爆破。因此，从理论上阐明在什么条件下解发生爆破，在什么条件下解全局存在以及在解全局存在的情况下，弄清楚解在长时间的渐近行为是非常重要的。　　 很多学者已经在一维或者多维固定区域中广泛研究上述爆破问题，与有界固定区域问题对应的还有整个区域上的Cauchy问题。本文，我们考虑有界固定区域和无界区域的一种中间情况，即自由边界问题，这也是本文的核心问题。自由边界问题一直是一个比较困难的问题，因为其边界是随着时间变化而变化的，是未知的，将来是随着问题的解一起给出的，它不同于增长区域问题，这种情形下，虽然边界也是在变化，但是按照事先给定的方式变化的，是已知的。　　 为使本文更具可读性和系统性，本文将紧紧围绕一个带局部化反应项和自由边界的非线性反应扩散模型，并对有关数学问题进行深入系统的研究。全文由三个部分组成。　　 第一部分，我们主要介绍与本文研究内容有关的背景知识和相关工作的发展概况。　　 第二部分，我们考虑了一个一维情形下的带局部化反应项和自由边界的非线性反应扩散模型，并给出了如下主要结果：(1)我们首先采用拉直边界的方法，结合不动点定理给出了古典解的局部存在性和唯一性。(2)我们利用比较原理和构造适当下解的方法给出了爆破现象何时发生，结果表明初值越大，解越容易爆破。　　 第三部分，我们探讨了全局快解和全局慢解的存在性。首先我们证明了这样一个基本事实：当初值充分小的时候，全局快解存在，即T=+∞，并且解按照指数形式衰减至零。在给出全局慢解存在性之前，我们证明了全局解的一致有界性以及随着时间迁移解最终衰减到零这两个性质。最后借助这两条性质我们给出了全局慢解的存在性证明。结果表明当初值适当大时，全局慢解存在。