孤立量子多体系统非平衡动力学的研究是物理学领域中一个古老而又艰巨的重要课题。近十几年来,光操控冷原子的实验和计算物理的发展为研究孤立量子多体系统的非平衡动力学提供了实验平台和可行的理论方法,使得孤立量子多体系统非平衡动力学的研究重新受到人们的广泛关注。在孤立量子多体系统非平衡动力学的研究中,一个关键的问题就是孤立量子系统的热化问题。孤立量子系统的热化是指孤立量子系统从非平衡态出发,长时间演化之后可观测量可以达到一个稳定值,并且可以用传统的统计系综来描述。研究孤立量子系统的热化问题不仅有助于量子统计力学理论体系的完善,而且对数学物理,量子混沌,量子传输,多体局域化,可积和不可积动力学等领域也具有重要的理论意义,同时可以为量子信息科学,如量子计算机和量子通信等领域,提供必要的理论依据。另一方面,宇称-时间反演(PT)对称的非厄米系统的自发PT对称破缺转变是当前凝聚态物理、光学领域的一个热门研究课题。上世纪90年代,Bender和Boettcher发现PT对称的非厄米哈密顿系统依然可能具有全是实数的本征能谱。这个发现使得PT对称的非厄米哈密顿系统受到了人们的广泛关注。PT对称的非厄米哈密顿系统的一个重要特点就是存在一个从PT对称相到自发PT对称破缺相的转变,称为自发PT对称破缺转变。系统在PT对称相时,所有本征能量都为实数,哈密顿量的所有本征函数都是PT算符的本征函数,即具有PT对称性;而在自发PT对称破缺相时,系统本征能谱包含部分复数能级或者全为复数能级,复数能级对应的本征函数将不具有PT对称性。目前,PT对称的非厄米量子系统在光学系统,开放量子系统,Anderson模型,紧束缚链模型,自旋链模型和拓扑模型中都有大量的研究,此外,人们已经可以在实验上操控和研究PT对称的非厄米哈密顿系统,并且已经在耦合光波导系统中观测到了自发PT对称破缺转变现象。研究PT对称的非厄米量子系统对量子力学理论的拓展和补充具有重要的意义;同时非厄米量子理论的发展和实验仿真的实现使得在未来构建新型光学器件和量子器件成为了可能。本文主要研究了若干孤立非均匀量子可积多体系统的非平衡动力学和热化问题,同时还研究了一维PT对称的非厄米系统的自发PT对称破缺转变问题,具体情况如下。1、孤立量子多体系统的非平衡动力学和热化问题的研究目前,人们已经对孤立均匀的量子多体系统的非平衡动力学和热化问题做了大量的研究,发现不可积系统和可积系统长时间演化后可观测量的行为是不同的:对于不可积系统,弛豫后可观测量可以用传统的统计系综来描述,即可以热化;而可积系统弛豫后可观测量不能用传统的统计系综来描述,但可以用广义吉布斯系综(GGE)来描述,人们将这种现象称为广义热化。另外,孤立非均匀量子多体系统的非平衡动力学和热化问题也受到了人们的广泛关注,大量研究表明,对于非均匀不可积系统,系统的非均匀性可能会导致多体局域化,当出现多体局域化时,系统将不能发生热化;另一方面,对于非均匀可积系统,人们也做了一些研究,但仍然存在一些问题,如最近关于硬核玻色子在Aubry-Andre模型中的非平衡动力学的研究表明:GGE的有效性与单粒子本征态的性质有关;当系统处于单粒子本征态为扩展态的区域时,GGE可以用来描述可观测量弛豫后的值;当系统处于单粒子本征态为局域态的区域时,GGE对非局域的可观测量将不再适用。那么,当系统单粒子本征态为处于扩展态与局域态之间的临界态时,GGE的有效性将如何呢?当单粒子本征态中同时存在扩展态和局域态时,GGE还能用来描述可观测量弛豫后的值吗?基于这些问题,我们将对若干孤立非均匀量子可积多体系统的非平衡动力学进行研究,本文主要讨论了二元准周期势场、具有单粒子迁移率边的准周期势场和恒力场中半占据的硬核玻色子的淬火动力学和热化问题。首先,我们讨论了一维Fibonacci晶格和广义Fibonacci晶格中半占据的硬核玻色子的淬火动力学。Fibonacci晶格是准周期系统研究中的一个典型模型,它的单粒子本征态是介于局域态和扩展态之间的临界态。广义Fibonacci晶格是另一类被广泛研究的准周期系统,根据晶格是否具有PV性质,广义Fibonacci晶格可以分为两类,第一类具有PV性质,它的单粒子本征态性质与Fibonacci晶格的类似;而第二类不具有PV性质,单粒子本征态中不仅有临界态,还有局域态和扩展态。在初始时刻,系统处在均匀晶格的基态上,然后我们通过淬火给晶格加上二元准周期势场,研究系统淬火之后的动力学演化情况。研究发现,在Fibonacci晶格中,可观测量能够弛豫到一个稳定值,弛豫后,局域的可观测量,如格点密度,可以用GGE来描述,而非局域的可观测量,如动量分布函数和自然轨道占据数,则不能用GGE来描述,另外,由于系统是可积的,所有的可观测量都不能用巨正则系综来描述,这些结果与硬核玻色子在Aubry-Andre模型的局域区域(单粒子本征态为局域态的区域)时的情形类似。在广义Fibonacci晶格中,硬核玻色子的淬火动力学行为和弛豫后可观测量的统计系综描述情况与在Fibonacci晶格中的类似。然后,我们讨论了三种具有单粒子迁移率边的准周期势场中半占据的硬核玻色子的淬火动力学。对于第一种势场,存在一个Ec,当单粒子本征能量|E|< Ec时,对应的单粒子本征态是扩展态,其他的单粒子本征态为局域态;对于第二种势场,当势场强度较弱时,存在一个Ec,当单粒子本征能量E<Ec时,单粒子本征态为局域态,当E> Ec时,对应的单粒子本征态为扩展态;对于第三种势场,当势场强度较弱时,存在一个Ec,当单粒子本征能量|E|>Ec时,对应的单粒子本征态是扩展态,其他的单粒子本征态为局域态,与第一种势场的情形相反。研究发现,在第一种势场中,硬核玻色子的淬火动力学行为和弛豫后可观测量的统计系综描述情况与硬核玻色子在Aubry-Andre模型的扩展区域(单粒子本征态为扩展态的区域)时的情形类似,可观测量能够弛豫到一个稳定值并且可以用GGE来描述,而在第二种和第三种势场中,硬核玻色子的淬火动力学行为和弛豫后可观测量的统计系综描述情况与硬核玻色子在Aubry-Andre模型的局域区域时的情形类似,局域的可观测量可以用GGE来描述,而非局域的可观测量不能用GGE来描述。其次,我们讨论了受到恒定驱动力场的晶格中半占据的硬核玻色子的淬火动力学。在初始时刻,我们给均匀晶格突然加上恒定的驱动力场;在均匀晶格中,系统的单粒子本征态是扩展态,加上恒定驱动力场后,系统的单粒子本征态变成局域态。我们数值计算了硬核玻色子的格点密度,动量分布函数和自然轨道占据数随时间演化的情况,发现格点密度的长时间平均值与GGE预测的值一致,而动量分布函数和自然轨道占据数的长时间平均值与GGE平均值不一致,并且动量分布函数长时间演化之后不能达到一个稳定分布,这与硬核玻色子在其他晶格中的情形不同。2、PT对称的非厄米系统的自发PT对称破缺转变的研究最近,人们在研究一个PT对称的非厄米拓扑模型(SSH模型)的自发PT对称破缺转变中发现,系统在非拓扑相时存在自发PT对称破缺转变,而在拓扑相,系统不存在这样的转变,只有一个自发PT对称破缺相,因此,一个很自然的问题就是:在PT对称的非厄米拓扑模型中,自发PT对称破缺转变跟拓扑性质是否有普遍的联系?为了解答这个问题,我们研究了另外两个PT对称的非厄米拓扑模型在不同相内的自发PT对称破缺转变情况。其中一个模型是PT对称的非厄米Kitaev模型,研究发现,在非拓扑相中,系统存在自发PT对称破缺转变,这与PT对称的非厄米SSH模型的情况类似,然而,与非厄米SSH模型不同的是,非厄米Kitaev模型在拓扑相也存在自发PT对称破缺转变。另一个我们讨论的模型是PT对称的非厄米拓展Kitaev模型;拓展Kitaev模型由Kitaev模型和SSH模型组成,它有两个拓扑相和一个非拓扑相,两个拓扑相分别为类Kitaev拓扑相和类SSH拓扑相;研究发现,对于PT对称的非厄米拓展Kitaev模型,自发PT对称破缺转变存在于类Kitaev拓扑相、类SSH拓扑相的部分参数区域和非拓扑相的部分参数区域内,而在其余的类SSH拓扑相和非拓扑相的参数区域内,系统只存在一个自发PT对称破缺相。所以,我们可以得出结论:在PT对称的非厄米拓扑模型中,自发PT对称破缺转变与拓扑性质没有普遍的联系。