压缩感知理论是一种新的信号处理和采样理论。压缩感知理论指出如果信号在某中变换条件下是稀疏的,那么该高维信号就可以通过具有一定条件的矩阵（非相关）变换到比较低维度的空间上,最后通过优化算法重构出原始信号。压缩感知理论的提出不仅有效地解决奈奎斯特（Nyquits）采样定理中采样和压缩分开进行的问题,还有效地降低了信号采样所需的成本,节省了信号存储成本。当前压缩感知理论在众多领域得到了广泛的关注与应用。本文主要研究光滑神经网络算法在压缩感知中的信号重构问题的应用:（1）针对无噪声采样的压缩感知信号重构问题,本文研究一种广义的混合范数模型,并设计相应的神经网络算法求解此问题,其中优化目标是非光滑、非Lipschitz以及非凸的拟范数L_p（1≥p>0）与非光滑范数L_q（2≥q>1）的差。约束条件为线性等式约束。首先,在等距约束性条件和给定的稀疏度条件下,本文理论证明了混合范数模型的解的存在性以及唯一性,紧接着证明了当L_q-范数的q取值固定时,参数p的取值越大,所提出的混合范数优化模型在信号重构问题上越有效。其次,针对以上的优化问题,本文采用光滑逼近技术处理模型的非光滑项和采用投影方法处理线性等式约束的方法,提出光滑惯性投影神经算法及相关的电路实现方法,并在一定的条件下,理论上证明算法的稳定性。最后通过收敛行为、成功重构率以及对比实验证明提出的光滑惯性神经网络算法的有效性。（2）本文研究一种光滑神经网络算法用于求解含有采样噪声的压缩感知信号重构问题,其中采用非光滑的L₁-范数作为优化的目标以及采用一般的L_p（2≥p≥1）不等式表示残差的度量。采用光滑逼近技术,不仅有效地解决L_p-范数的导数非Lipschitz连续的难题,还可以克服采用微分包含方法中实验取值困难的问题。理论证明提出算法的最优性及稳定性,并通过收敛实验以及对比实验得出算法的有效性。