本文主要讨论了域扩张的kummer理论,研究了函数域上的一种广义Kummer扩张,并得出了一些算术性质.第一章首先给出了一般域上的Kummer理论,其揭示的是域K的指数为n的Abel扩张L／K与K的子集△(满足AΚ(?)△(?)AΚ)之间的一一对应关系：△(?)L=Κ((?)-1(△)),L(?)△=AL(?)∩AΚ.第二章引入了函数域上的由一类特殊多项式F(y)=yqn+αn-1yqn-1+…+α2yq2|α1yq|αy决定的扩张,由于其和Kummer扩张的多项式形式极为相似,我们称其为广义Kummer扩张.然后得到了一些初步结果：(1)F(y)的根集合R为Fq上的n维线性空间.(2)Gal(L／K)是GLn(Fq)的子群.由于一般情形下,广义Kummer扩张的Galois群及其他一些算术性质的研究比较困难,目前还没有合适的方法,所以本文接下来研究了n=2时其中的一大类特殊多项式F(y)=yq2+αyq+Thy,α∈(Th)决定的广义Kummer扩张,这也是本文的重点.对于这类扩张,我们给出了其Galois群的确切结构,得出此时有Gal(L/K)(?)GL2(Fq).第三章在前面的基础上,选取第二章中所研究的多项式的简单情形F(y)yq2+αyq+Ty,α∈(T)作为研究对象,研究素位的分歧情况,计算了一些子域的亏格.主要有如下结论：(1)扩张L／K中的分歧位只有T和∞,并且给出了分歧指数和剩余类域次数.(2)记dega=n,则L的亏格为(?)(n-1)+(?).