拓扑性质可以用来表征新奇的物质相,整数量子霍尔效应可以和二维周期系统的拓扑性质联系在一起,量子霍尔电导可以用电子系统占据能带的陈数来表示。拓扑绝缘体的发现更是引发了大家对二维和三维体系拓扑相的广泛兴趣,成为物理学界的研究热点。拓扑绝缘体类似于普通绝缘体具有体态带隙,但是在边界上具有无带隙的边界态。研究指出边界态在磁场和超导的影响下会产生许多新奇的量子现象,这些新奇的现象可能在自旋电子学和量子计算等领域有重要的应用。最近的一些新研究结果表明一维体系也可以用来研究拓扑相和无带隙的边界态。本文从理论上研究了无序对一维光晶格中边界态和拓扑相的影响,从实验上研究了经典周期性密度弦的无带隙边界态。本文首先介绍了波动传播的一些基本概念和理论背景,讨论了计算一维周期体系本征值和本征函数的三种数值方法:本征函数法,有限差分法和紧束缚近似法。在这三种数值解法的基础上,给出了数值计算一维体系拓扑不变量的方法。利用上述数值方法,我们详细研究了无序对一维光晶格中边界态和密度平台的影响。首先,使用数值方法研究了无序对拓扑相的影响。研究表明一维光晶格模型可以映射到二维体系,由于二维体系具有非零的陈数,这样的二维体系拓扑等价于量子霍尔态,在体能带的带隙中会出现无带隙的边界态。当存在无序时,在随机势的作用下体能带展宽带隙变窄,只要带隙不消失就始终有无带隙的边界态存在,可以确认在无序作用下无带隙的边界态是受拓扑保护的。其次,我们研究了无序对密度平台的影响。随着无序的增加,平台宽度会随带隙宽度变窄,数值模拟结果显示两者近似成比例,当无序足够大时两者同时消失。在弱无序作用下使用更长的长度计算局域平局密度得到密度平台仍然强健,因此可以证实密度平台是一维体系拓扑性质的体现。在论文的实验部分我们研究了一维周期性弦中的无带隙的边界态。我们发现一维周期性弦存在类似于一维周期势场中的电子能带结构的频带结构。一维弦模型加上一个外加参数可以等价于一个二维的陈数不为零的频带结构。根据体态和边界态的对应关系,当陈数不为零时频率带隙中存在无带隙的边界态。为了验证无带隙边界态的存在,我们测量了一维周期性弦在固定边界条件下的边界态频谱,测量结果与理论模型吻合很好。这是首次对受拓扑保护的无带隙边界态谱的直接测量。