算子理论产生于20世纪初，是泛函分析的一个重要组成部分，而算子不等式则是算子理论中的一个非常重要的分支。近几十年来这个领域的研究非常活跃，已发现不少算子不等式在微分方程、最优化理论及统计学等众多数学分支中有着广泛的应用。　　 本文共分四章:　　 第一章主要介绍了算子的几何平均概念及讨论了算子的几何平均的4种算法，包括针对一个二阶矩阵的完整演算过程。　　 第二章主要介绍了数域上的Ky-Fan不等式及在Hilbert空间中:给出关于可交换有界线性算子的Ky-Fan不等式;推广有界线性算子的Young不等式;探究非可交换有界线性算子的Ky-Fan不等式的一种形式，并以实例说明这种形式是错误的。　　 第三章用与Tanahashi不同的方法讨论Furuta不等式中参数的最优取值范围问题，为最终解决Furuta不等式的残余问题提供了一种新的思路。　　 第四章总结了全篇论文并对Ky-Fan不等式以及Furuta不等式的“残余问题”的研究前景做了展望。