【摘 要】
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系统工程学科是主要以工程、经济、环境、社会等领域中的系统为研究对象,利用数学方法和计算机技术为工具,研究系统建模、分析、设计以及实现等问题的理论、技术和方法。本文以交通流中的双曲守恒律系统为研究对象,基于偏微分方程的数学理论,利用计算机实现对数学模型的模拟,进而分析找到合理有效的数值方法。本文根据物理背景导出质量守恒律方程,然后求解守恒律方程的黎曼解,进一步研究带有不连续通量的守恒律方程的数值格式
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系统工程学科是主要以工程、经济、环境、社会等领域中的系统为研究对象,利用数学方法和计算机技术为工具,研究系统建模、分析、设计以及实现等问题的理论、技术和方法。本文以交通流中的双曲守恒律系统为研究对象,基于偏微分方程的数学理论,利用计算机实现对数学模型的模拟,进而分析找到合理有效的数值方法。本文根据物理背景导出质量守恒律方程,然后求解守恒律方程的黎曼解,进一步研究带有不连续通量的守恒律方程的数值格式。其中,由于通量在x=0处不连续,所以构造数值格式的关键在于设计界面通量。通过研究数值通量性质和计算一些数值实例,发现局部Lax-Friedrichs界面通量在间断处的数值解被过度抹平,修正的局部Lax-Friedrichs界面通量有效但不单调。于是,本文基于Bürger等(2009年)定义的(A,B)-型熵解,构造了一个新修正的局部Lax-Friedrichs界面通量,并且证明了该界面通量具有Lipschitz连续性和单调性。通过数值实验和~1L-误差分析,阐明了本文构造的一阶精度格式有很好的逼近效果。为了提高数值解的分辨率,本文考虑设计二阶精度数值格式,而它的核心是构造修正项。通过大量的数值实验,发现由二阶通量总变差不增(FTVD)格式计算得到的数值解产生所谓的后腿特征现象。二阶修正的FTVD(M-FTVD)格式在非局部限制器算法中新添了参数Ch~δ,然后通过调整该参数的取值,达到了后腿特征现象减弱甚至消失的目的,但是二阶FTVD格式和二阶M-FTVD格式的修正项在间断x=0处均为零。于是,本文基于Bürger等(2010年)提出的二阶FTVD格式的定义,提出了一个新的有效算法,用来构造间断x=0处的修正项,并且可以自动选择是否为零,从而使得数值解在一些特殊情况下在间断x=0处有更好的分辨率。特别地,在数值实例中,通过对新算法中的参数进行分段取值,既可以使得间断x=0左边的后腿特征现象消失,又可以使得间断x=0右边的激波数值解更好地逼近准确解。
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