二十世纪二十年代,芬兰著名数学家R.Nevanlinna引进了亚纯函数的特征函数,并建立了Nevanlinna两大基本定理,这是二十世纪重大的数学成就.不仅因为它奠定了现代亚纯函数理论的基础,而且对许多数学分支的发展,交叉和融合产生了重大而深远的影响.半个多世纪以来,Nevanlinna理论研究在不断发展,而且在复域上的微分方程,亚纯函数唯一性理论研究复解析动力系统等方面有着广泛的应用.在复域中的微分方程大范围解析解的研究中(参看[4])Nevanlinna理论的成功介入,不但为之提供了十分重要的研究工具,而且使得这一学科的发展充满了生机.在亚纯函数唯一性理论研究方面,1929年,R.Nevanlinna(参看[6])利用他刚建立不久的亚纯函数值分布理论,研究了决定一个亚纯函数所需要的条件,得到了两个著名的亚纯函数唯一性定理,它们通常被称为Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理.这为亚纯函数唯一性理论,特别是涉及公共值的亚纯函数唯一性的研究奠定了理论基础.近二十年来,仪洪勋教授在亚纯函数唯一性理论的研究中,独树一帜.他在这一领域所做的原创性工作(参看[2][7]),吸引了国内外学者,数学家,甚至著名数学家的研究兴趣,从而有力地推动了亚纯函数唯一性理论的发展,也为中国在这一领域的国际地位做出了重要贡献.李效敏副教授在亚纯函数唯一性理论研究中比较活跃,作了许多研究工作,得到了国内外同行的关注.不仅如此,他还在复微分方程和亚纯函数正规族的研究中得到不少突出的结果,例如他在Bruck猜想和Gundersen问题等方面作了许多研究工作(参见[8][9]).对整函数与其导数具有公共值的唯一性问题的研究,由L.A.Rubel和C.C.Yang首开先河.尔后,国外著名的复分析专家,如E.Mues, GFrank, N.Steinmetz, G.G.Gundersen, GJank, L.Volkamn等人以及一些中国学者,分别从不同的角度将这一课题的研究不断引向深入.至今,仍有一些问题尚未解决.不仅如此,1992年,W.Schwick(参看[10])发现,整函数的正规性和该函数族中的函数与其导数是否具有公共值这一性质,有着十分紧密的联系.由于正规族理论在复动力系统的研究中的特殊地位,他的这一发现立即吸引了国内外许多学者的注意,这无疑使函数公共值问题的研究更具有活力,也更有意义.本文介绍作者在李效敏老师的精心指导下所完成的一些研究工作.本文主要研究分担三个公共值的亚纯函数唯一性理论和微分多项式分担一个公共值的唯一性理论..一共分为三章。第一章,主要介绍与本文有关的Nevanlinna基础理论中的主要概念,常用记号及经典结果.对整函数与其导数具有公共值的唯一性问题的研究,由L.A.Rubel和C.C.Yang首开先河.尔后,国外著名的复分析专家,如E.Mues, GFrank, N.Steinmetz, G.G.Gundersen, G.Jank, L.Volkamn等人以及一些中国学者,分别从不同的角度将这一课题的研究不断引向深入.至今,仍有一些问题尚未解决.不仅如此,1992年,W.Schwick发现,整函数的正规性和该函数族中的函数与其导数是否具有公共值这一性质,有着十分紧密的联系.由于正规族理论在复动力系统的研究中的特殊地位,他的这一发现立即吸引了国内外许多学者的注意,这无疑使函数公共值问题的研究更具有活力,也更有意义.在本文的第二章,本章主要解决了CM分担三个公共值的亚纯函数的唯一性问题,改进了仪洪勋和李效敏以及仪洪勋和其他人的一些结果.下面是主要定理.定理1 f(z)和g(z)是两个判别的非常数的亚纯函数,且CM分担0,1,∞,假设P(z)是一个非常数的多项式,且(这P’(z))’(t为任意的一个正整数)不恒等于1,如果那么f=g.定理2 f(z)和g(z)是两个判别的非常数的亚纯函数,CM分担0,1,∞,假设P(z)是一个非常数的多项式,若σ(f)<∞且则f=g.在本文的第三章,本章主要证明了下述结果：假设f是一个非常数的亚纯函数,k为正整数,对于一个正整数n满足2n>3k+8+(?).如果fn与fn-1 f(k)IM分担1,那么f=f(k).该结果改进了张继龙和杨连中的相应结果.下面是第三章的主要定理定理3设f是一个非常数的亚纯函数,k为正整数,对于一个正整数n满足2n>k+3+(?).如果fn与fn-1 f(k)CM分担1,那么f=f(中).定理4设f是一个非常数的亚纯函数,k为正整数,对于一个正整数n满足2n>3k+8+(?).如果fn与fn-1 f(k)IM分担1,那么f=f(k).