随着科技的发展,图像作为一种重要媒介已经成为获取信息的必要来源。图像在成像、传输以及存储的过程中不可避免地受到一些因素的影响,这使我们经常得到对比度低且含有噪声污染的图像。为了得到清晰完整的图像,图像的去噪和增强成为了计算机视觉和图像处理领域的重要研究问题。变分方法和偏微分方程具有成熟的数学理论基础和数值计算方法,被广泛应用到图像处理的各个领域,所以本文主要研究变分法和偏微分方程在图像去噪和增强方面的问题。在实际工作中,我们可能遇到这样的图像,它的对比度需要改善并且还有噪声污染。对于这类问题,传统的处理方法有两种选择:先去噪后增强对比度或者先增强对比度后去噪,然而这两种方法的处理效果都不理想。所以本文首先提出一个新模型,耦合了基于L~p范数的去噪项和对比度增强项,将图像的去噪过程和增强过程统一起来同时处理对比度低且含有噪声污染的图像,去除噪声,同时增强图像的细节信息和低对比度,改善整幅图像的视觉效果。其次本文分析了模型解的理论,主要是模型解的存在性和唯一性。把模型解的存在唯一性归结为对应的演化方程解的存在唯一性,利用Hilbert空间的非线性半群理论证明演化方程解的存在唯一性。最后本文利用有限差分法来数值离散模型,但差分法受限于时间步长,计算起来比较费时。因此考虑了快速傅里叶变换的加速算法,将算法中耗时最长的步骤转换为若干次卷积运算的和,降低整个计算过程的复杂度,提高计算机运行速率。算法的整体计算复杂度是O(Nlog N),其中N是输入图像像素点的个数。将模型的实验结果与不同处理方法的实验结果作对比,验证模型同时去噪增强的能力。