本文主要研究一阶椭圆型方程组的非线性Riemann边值问题和Riemann-Hilbert边值问题，并利用边界元方法讨论广义解析函数(一阶椭圆型方程组的一种特殊形式)的Riemann-Hilbert边值问题. 对于一阶椭圆型方程组的Riemann边值问题，是通过把它们转化为与原问题等价的奇异积分方程，利用广义解析函数理论、奇异积分方程理论、压缩原理或广义压缩原理，证明在某些假设条件下所讨论问题的解的存在性；对于一阶椭圆型方程组的Riemann-Hilbert边值问题，利用广义解析函数理论、Cauchy积分公式、函数论方法和不动点原理，证明在某些假设条件下所讨论问题的可解性；广义解析函数的Riemann-Hilbert边值问题的边界元方法是利用广义解析函数的广义Cauchy积分公式，引入Cauchy主值积分，通过对区域边界的离散化，得到边界积分方程，再利用边界条件得到问题的解. 本文的难点是方程的非线性或边界条件的非线性，在证明奇异积分方程的解的存在性时，要进行模的估计，此估计过程是一个复杂的计算过程.广义解析函数的Riemann-Hilbert边值问题的边界元方法是以Cauchy公式为基础，Cauchy核具有奇性，这是所面临的困难，可以设法利用Cauchy主值积分来解决，最后给出问题的解.