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紧致的具有非正截面曲率的黎曼流形，它的拓扑结构可由基本群唯一决定.反之，对于紧致拓扑流形，能否由基本群决定在它上面是否容许有非正曲率的黎曼度量?
本文从流形上的群作用出发，利用拓扑刚性定理，对上述问题给出一个判定性的条件，即当紧致拓扑流形的基本群满足一定条件时，在它上面容许有非正曲率的黎曼度量，引入流形上纯不连续的自由的群作用和正则覆盖的概念，并探讨二者的关系，讨论基本群和群作用之间的关系，同时涉及到流形之间的覆盖，叙述拓扑刚性定理，给出本文的主要结论并予以证明。