算子不等式是算子理论中一个重要的课题。其中一个著名的算子不等式——古田不等式（Furuta不等式）是由日本数学家古田以1934年L（?）wner提出的L（?）wner不等式为理论基础而建立的。古田不等式在算子不等式，算子方程和许多数学物理问题的研究中都起着重要的作用，有广泛的应用。本文的主要目的是综合运用算子平均理论和算子单调性理论从条件和结果着手将Furuta不等式进行推广，并将算子平均的理论应用到C^*-代数中。第一章，我们首先介绍了Furuta不等式以及Furuta不等式的残余问题，提出了算子平均理论的若干结论。有不少学者对Furuta不等式曾经进行过推广，在这一章中我们列举了Bach和古田对Furuta不等式所做的推广式，在此推广式的基础上我们改变条件从而导出了一系列相关结论。本文的第二章主要介绍了算子幂平均形式下的一些Furuta不等式。一开始，我们先介绍了Furuta不等式的几何结构。接着讨论了一个算子幂平均函数的单调性问题以及在A²≥（AB² A）^1/2序下的一些算子广义幂平均函数的单调性。本文的第三章主要讨论了算子单调函数。首先介绍了算子单调函数的定义，接着利用已有的想法构造了四组分式形式的算子函数序列，证明了这四组算子函数在混沌序（Chaotic序）以及由A^k≥B^k定义的序下的算子函数单调性，并且得到了一些相关的推论。第四章我们主要是把算子平均理论应用于C^*-代数中，引入并研究了C^*-代数中两个正定元间的α-幂几何平均和广义谱几何平均。1997年，Fielder和Pta’k研究了两个正定矩阵间的度量几何平均与谱几何平均。后来，陆丽华和姜健飞沿用他们的思想，研究了两个正算子间的广义谱几何平均。我们则在他们研究的理论基础上把正算子间的广义谱几何平均推广到了C^*-代数中的两个正定元上。