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本文研究的是多维反射倒向随机微分方程(简记为BSDE)解的存在唯一性，比较定理及其应用。
众所周知，BSDE是一个新兴的研究方向，它的出现为研究金融数学，随机最优控制及偏微分方程等问题提供了有利的工具。如下的非线性BSDE-dY(t)=f(t，Y(t)，Z(t))dt-Z(t)dBt，YT=ξ
是由Pardoux和Peng于1990年在[1]中首先介绍的，后来Peng于1992年在[2]中证明了一维BSDE的比较定理，周海滨于1999年在[3]中证明了一类多维BSDE的比较定理，证明方法是构造了一个特殊的函数，这个函数是Buckdahn和Peng于1999年在[4]中首次介绍的。周海滨还将多维BSDE比较定理应用于证明多维拟单调连续系数BSDE解的存在性。El.Karouietal在[5]中研究了带一个障碍的一维反射BSDE，给出了一维情况下解的存在唯一性定理和比较定理，同时还在Markov框架下研究了一维反射BSDE与非线性抛物型偏微分方程的联系。
我们现在很自然的提出，如何建立多维反射BSDE的框架，建立之后，多维反射BSDE的解是否存在唯一，解的比较定理是否成立，是否也可以将多维反射BSDE的比较定理应用于证明多维拟单调连续系数反射BSDE解的存在性?
本文共分四章。
第一章：引言，叙述前人所作的工作以及问题的由来。
第二章：受El.Karouietal[5]中一维反射BSDE模型的启发，我们提出了如下的多维反射BSDE模型：
首先假定(H2.1)ξ∈IL2n.
(H2.2)f:Ω×[0，T]×Rn×Rn×d-→Rn，(y，z)∈Rn×Rn×d，f(·，y，z)∈H2n.
(H2.3)|f(t，y，z)-f(t，y，z)|≤C(|y-y|+|z-z|)，C＞0，y，y∈Rn，z，z∈Rn×d.
给出一个n维的障碍{S(t)，0≤t≤T}∈Rn满足(H2.4){S(t)，0≤t≤T}∈Rn是一个连续的循序可测的Rn中的过程，并且满足E(sup|S+(t)|2)＜+∞，S(T)≤ξ。
这里S+(t)是一个Rn向量，它的第j个分量是S+j(t)。
称(f，ξ，S)为一组标准参数，如果它满足假定(H2.1)-(H2.4).称{(Y(t)，Z(t)，K(t))，0≤t≤T}是n维反射BSDE的一组解，如果它满足(H2.5)Z(t)∈H2n×d，Y(t)∈S2n，K(T)∈L2n.
(H2.6)Y(t)=ξ+∫Ttf(s，Y(s)，Z(s))ds+K(T)-K(t)-∫TtZ(s)dBs.
(H2.7)Y(t)≥S(t)，i.e.Yj(t)≥Sj(t)，j=1，2，…，n.
(H2.8)K(t)∈Rn，0≤t≤T.K(t)的第j个分量记为Kj(t)，它是连续的增过程，满足Kj(0)=0，∫T0(Yj(t)-Sj(t))dKj(t)=0，j=1，2，…，n.
这里Y(t)是一个Rn向量，它的第j个分量是Yj(t)。
多维模型同一维模型的区别主要体现在(H2.7)和(H2.8)上，意味着仅当Yj碰到障碍Sj时，用一个最小的推动力Kj将Yj向上推动，使之在障碍Sj上面运动。运用[5]中相同的技术，我们证明了多维反射BSDE解的存在唯一性，即
定理2.1.当(f，ξ，S)分别满足假定(H2.1)-(H2.4)时，多维反射BSDE(f，ξ，S)存在着一组解(Y，Z，K)满足(H2.5)-(H2.8)。
定理2.2.当(f，ξ，S)分别满足假定(H2.1)-(H2.4)时，至多有一组循序可测的解(Y,Z,K)满足(H2.5)-(H2.8)。
第三章：为了说明多维反射BSDE的比较定理，我们将两个Rn中向量的比较定义为：a1≥a2(=)a1j≥a2j，j=1，2….，n.a1，a2∈Rn.
受El.Karouietal[5]中一维反射BSDE比较定理的启发，我们首先作出如下类似的假定：(H3.1)ξi∈L2n.
(H3.2)(y，z)∈Rn×Rn×d，fi(.，y，z)∈H2n，fi:Ω×[0，T]×Rn×Rn×d-→Rn.
(H3.3)|f2j(t，y，z)-f2j(t，y，z)|≤C(|y-y|+|z-z|).
(H3.4){Si(t)，0≤t≤T}∈Rn是连续的循序可测过程，并且E(sup0≤t≤T|Si+(t)|2)＜+∞，Si(T)≤ξi.
(H3.5)Zi∈H2n，Zi∈Rn×d.
(H3.6)Yi(t)=ξi+∫Ttfi(s，Yi(s)，Zi(s))ds+Ki(T)-Ki(t)-∫TtZi(s)dBs.
(H3.7)Yi(t)≥Si(t).
(H3.8){Kij(t)}是连续的增过程，并且满足Kij(0)=0，∫T0(Yij(t)-Sij(t))dKij(t))=0，j=1，2，…，n.
C.Geiβ和R.Manthey在[11]中给出多维随机微分方程系数的拟单调条件，我们将这种拟单调条件应用于多维反射BSDE生成元函数的比较，得到下面的结果
定理3.1.(fi，ξ,Si)和(Yi，Zi，Ki)(i=1，2)满足假定(H2.1)-(H2.8)，如果有(i)ξ1≤ξ2.
(ii)f1j(t，y1，z1)≤f2j(t，y2，z2)，y1j=y2j，z1j=z2j，y1l≤y2l，l≠j.
(iii)S1(t)≤S2(t).
则有Y1(t)≤Y2(t).
定理3.1的证明中我们采用了局部时的方法，此方法同样适用于多维BSDE比较定理的证明，并且其证明过程简洁新颖。
下面考虑定理3.1中的条件(ii)能否换成更弱的条件(ii)f1j(t，y，z1)≤f2j(t，y，z2)，z1j=z2j.
我们首先举了一个满足条件(ii)但比较定理不成立的例子，然后举了一个满足条件(ii)时比较定理成立的例子。
第四章：有了多维反射BSDE解的存在唯一性和比较定理，我们就可以利用同[3]中相似的方法证明多维拟单调连续系数反射BSDE解的存在性。
首先引入可测函数f：f(t，ω，y，z):[0，T]×Ω×Rn×Rn×d-→Rn，并做出如下假定：(H4.1)f的第j行只含z的第j行元素，即()g(t，ω，y，γ):[0，T]×Ω×Rn×Rd-→Rn，使得fj(t，ω，y，z)=gj(t，ω，y，zj)，(V)t∈[0，T]，ω∈Ω，y∈Rn，z∈Rnxd；
(H4.2)线性增长性：()C0≥0，使得：|f(t，ω，y，z)|≤C0(1+|y|+|z|)，(V)t∈[0，T]，ω∈Ω，y∈Rn，z∈Rn×d.(H4.3)连续性：对于固定的t，ω，f(t，ω，·，·)是连续的。
(H4.4)拟单调性：对于固定的t，ω，f(t，ω，·，z)是拟单调的，即对j=1，2….，n有fj(t，ω，y1，z)≤fj(t，ω，y2，z)，(V)y1，y2∈Rn，y1j=y2j，y1l≤y2l，l≠j.
进而得到下面的结果定理4.1.假定f满足(H4.1)-(H4.4)，并且ξ∈L2，S(t)∈S2，则存在一组解(Y，Z，K)满足(H2.5)-(H2.8)。