本文主要研究物质输运方程的最优控制问题,其物理背景是生产、生活中混合物混合均匀的问题,即如何在规定的时间内使物质混合均匀且所消耗的能量最小,具有很强的应用价值。我们主要考虑了两类模型:控制方程为Advection-Diffusion方程时,我们取速度场为控制变量,基于对解的先验估计及方程解的存在性,我们在速度场较弱的正则性假设下证明了最优控制的存在性、唯一性,并运用Lagrange-Multiplier定理推导了最优控制所要满足的一阶必要条件,推导过程的关键在于通过方程得到时间导数项的估计及对该控制问题凸性本质的观察；考虑更加实际的物理模型-当速度场满足二维Navier-Stokes方程时,我们通过设计恰当的控制泛函,用紧性方法证明了边界控制的存在性,这种方法独立于方程解的适定性,可以很方便的推广到高维情形；借助于Navier-Stokes方程解的正则性理论,我们通过计算控制泛函的Gateaux导数,推导了方程组情形下最优控制所要满足的一阶必要条件,其证明的关键在于通过能量估计得到状态变量关于边界控制的Gateaux导数及分部积分。最后,我们讨论了所得结论可能的推广。