抛物型偏微分方程,简称抛物型方程是一类重要的偏微分方程,在自然科学诸多领域,许多现象都是利用抛物型方程(方程组)描述的,例如粒子和能量的扩散,物化反应,种群迁徙,物质相互作用等等,而且抛物型方程在工程领域也有着广泛的应用。目前对于抛物型方程发展了许多行之有效的数值方法,其中有限差分方法是最早为科技工作者运用且理论较为完善的方法,它已成为求解抛物型方程的一种重要方法。随着大型计算机(并行机)发展,传统的有限差分方法求解抛物型方程暴露出许多不足之处,例如显式格式计算步长受到严格的限制,隐式格式需要求解联立方程组,不便于直接在并行机上应用。因此构造具有并行性,良好的稳定性和计算精度的新型有限差分方法是本文主要研究工作。本文研究内容可以分为五个部分。第一章主要介绍本文的研究背景、研究现状和文章的撰写结构安排。第二章主要构造了求解热传导方程的并行有限差分方法,新的并行算法由两个区域分解算法组成,当第n时间层解已知,利用两区域分解算法分别计算第(n+1)时间层数值解,然后对所得到的两个数值解进行求平均值,令这个平均值为第(n+1)时间层数值解。相比传统的并行算法,新算法在保证并行本性和稳定性的同时又提高了计算精度。我们利用交替方向隐式(Alternating Direction Implicit,简称ADI)方法可以将新算法推广到二维热传导方程。理论分析和数值实验表明新的并行算法是有效的。第三章针对对流占优扩散方程构造了两种并行算法,即基于修正Crank-Nicolson格式的并行算法和基于Samarskii格式的并行算法。两算法都有效的消除了传统有限差分格式求解对流占优问题产生的数值震荡现象。我们证明了两个算法都达到了二阶收敛率,并且都是无条件稳定的。数值实验验证了算法是有效的。第四章针对Burgers方程提出了交替分段显隐格式,新算法利用Saul’yev非对称型格式将显式格式和隐式格式组合起来构造了分段显隐格式,在当前时间层和下一时间层恰当交替使用,空间上通过分段处理可以划分为多个求解子区域来进行并行计算。新算法满足并行性同时又是无条件稳定的。数值实验表明该算法是有效的。最后一章给出了总结与对未来工作的展望。