非线性泛函分析是现代数学中的一个重要数学分支,包括拓扑度理论、半序方法、变分方法等诸多内容.处理各类非线性的实际问题时,主要是处理相应的非线性的微分方程和积分方程.非线性泛函分析在其中发挥着重要作用.非线性微分方程边值问题是微分方程理论的一个重要组成部分,起源于应用数学、物理学和控制论等应用学科.由于非线性微分方程边值问题在理论上和应用中的重要价值,一直为许多学者关注,取得了很多有趣和深刻的研究成果.本文主要运用锥上的不动点指数理论,研究非线性微分方程组边值问题的正解和多重正解的存在性.共分为五章：在第一章中,研究下列高阶常微分方程组边值问题的正解和多重正解的存在性其中m,n≥2,f∈C([0,1]×R+m+n+2,R+),g∈C([0,1]×R+m+n+2,R+).本章主要使用线性函数来刻划非线性项f和g的增长,主要结果证明中的工具是锥上的不动点指数理论.在第二章中,研究下列二阶常微分方程组正解和多重正解的存在性其中f,g∈C([0,1]×R+4,R+)(R+：=[0,+∞)).非线性二阶常微分方程组边值问题来源于物理学、生物学、化学和其它应用科学,并在它们的理论和应用中扮演着重要角色.因此,积累了大量文献,参见[38,48,51,54,55,5961,75,76,83,84,89]和所附参考文献.其中大多数文献的非线性项不含有一阶导数.本章用线性函数和凹函数刻划非线性项的增长,运用Jensen不等式和R+2-单调矩阵获得正解的先验估计,推广了文献[15]的结果.在第三章中,研究下列四阶微分方程边值问题正解的存在性其中f∈C[0,1]×R+4,R+).我们在本章中使用降阶法,将问题转化为一个二阶积分微分方程.由于包含不同边值条件,我们必须建立非负凹函数u的范数与积分的关系.通过引入某些积分恒等式和积分不等式,得到正解的先验估计,在此基础上,运用锥上不动点指数理论建立本章的主要结果.在第四章中,研究下列具有不同边值条件的二阶常微分方程组正解和多重正解的存在性其中f,g∈C([0,1]×R+4,R+).为了克服不同边值条件和含一阶导数的非线性项带来的困难,我们引入两个与某些超越方程有关的积分恒等式,借助这些积分恒等式得到正解的先验估计.由于使用非负矩阵刻划非线性项的增长,因此矩阵理论在本章证明中起着重要作用.在第五章中,研究下歹(?)p-Laplace方程组边值问题的正解和多重正解的存在性其中p,q>1,f∈C([0,1]×R+2,R+),g∈C([0,1]×R+2,R+).运用积分不等式和矩阵理论得到正解的先验估计,在此基础上运用锥上的不动点指数理论建立本章的主要结果.