等价性研究一直是混杂系统分析验证领域热门的研究方向之一。微分半代数混杂系统是一种较为复杂的混杂系统，在描述和验证分析带有微分数据流特征的混杂系统中有广泛的应用前景。微分半代数混杂系统由于其复杂性，针对微分半代数混杂系统的等价研究也显得尤为重要，而线性时间等价是较为常用的等价。对于微分半代数混杂系统而言，尚且没有相应的线性时间等价理论。　　在工程应用中，微分半代数混杂系统模型连续动态变量常常伴随数值近似计算，故而本文着重研究微分半代数混杂系统的线性时间近似等价，以满足工作中的数值计算问题。本文提出的微分半代数混杂系统的三种线性时间近似等价能够优化微分半代数混杂系统模型和减少微分半代数混杂系统的状态数目，并且能够满足所给条件的误差控制。微分半代数混杂系统三种线性时间近似等价能够为微分半代数混杂系统模型的设计和验证方法建立提供理论支持。　　本文从微分半代数混杂系统线性时间近似等价这个主题出发，研究了线性代数变迁系统的线性时间近似迹等价、线性代数变迁系统近似完备迹等价、线性代数变迁系统近似准备迹等价;研究了非线性代数混杂系统的线性时间近似迹等价、非线性代数混杂系统近似完备迹等价、非线性代数混杂系统近似准备迹等价;研究了微分半代数混杂系统的线性时间近似迹等价、微分半代数混杂系统近似完备迹等价、微分半代数混杂系统近似准备迹等价。以及支持近似准备迹等价的公理系统。本文主要研究内容和创新点如下:　　1.线性代数变迁系统的线性时间近似等价理论:在线性代数变迁系统中，基于误差理论、数值分析和矩阵理论对线性代数变迁系统中的多元一次方程组集合进行数值近似等价。在近似部分，采用了普通的数值近似和误差理论，首先对线性代数变迁系统中的线性迁移进行近似等价，并且提出了矩阵的范数近似等价概念。在此基础上，利用Jordan标准型对近似理论进行优化，得到线性迁移的Jordan近似等价方法，通过对两种近似等价形式进行分析得出Jordan近似等价方法误差增加更慢、计算更为简单，是一种比较优越的近似等价方法。然后结合程代数对线性代数变迁系统的迹进行线性时间近似等价研究，主要包括近似迹等价、近似完备迹等价和近似准备迹等价研究。最后在三种线性时间近似等价基础上，提出了线性代数变迁系统的三种近似等价公理系统，并对公理系统的相容性进行了证明。本文通过一个交通红绿灯控制系统的近似等价研究证明了所提出的理论能够减少线性代数变迁系统的状态数，达到优化线性代数变迁系统的目的，并且在优化过程中，数据存储得到优化。　　2.非线性代数混杂系统的线性时间近似等价理论:在非线性代数混杂系统中，基于误差理论、数值分析和多项式组理论对非线性代数混杂系统中的代数方程组不变式集合进行数值近似等价。近似部分:采用了普通的数值近似和误差理论，首先对非线性代数混杂系统中的非线性部分进行近似，利用测度理论对误差进行控制，并提出了非线性多项式的近似等价概念。然后结合程代数对非线性代数混杂系统的迹进行线性时间近似等价研究，主要包括近似迹等价、近似完备迹等价和近似准备迹等价。最后针对三种线性时间近似等价，结合之前所提的线性代数变迁系统近似准备迹等价公理系统，提出了非线性代数混杂系统的近似准备迹等价公理系统。同样对公理系统的相容性进行了证明。通过一个工程实例即客机运行轨迹混杂系统模型的近似准备迹等价研究证明了所提出的理论能够减少非线性代数混杂系统的状态数，达到优化非线性代数混杂系统模型的目的。　　3.微分半代数混杂系统的线性时间近似等价理论:在微分半代数混杂系统中，与前两种混杂系统相比，系统的连续动态过程中往往伴有微分式子。这个时候系统的连续动态过程需要用微分半代数程序来描述，系统的离散动态迁移行为部分用实数代数程序来描述。研究了微分半代数混杂系统的线性时间近似等价，主要包括近似迹等价、近似完备迹等价和近似准备迹等价。在含有微分等式的迁移的近似部分，对迁移过程中可微函数，进行Taylor公式展开，然后得到非线性代数程序，再进行近似等价研究。近似等价研究中提出了一个截取操作符π，然后对余部进行近似等价工作，从而使得得到的可微函数可以进行近似等价操作，并且可以在所给的误差范围内进行操作。在微分半代数混杂系统的整个系统近似等价研究上，结合进程代数和可微函数近似等价，提出了微分半代数混杂系统的三种线性时间近似等价，然后结合进程代数提出了近似准备迹等价公理系统，并对公理系统的相容性进行了证明。通过飞机场飞机降落调度系统的近似准备迹等价研究证明了所提出的理论能够减少微分半代数混杂系统的状态数和优化微分半代数混杂系统，并且在优化过程中，数据存储得到优化。　　4.微分半代数混杂系统的几种与三种线性时间近似等价形式不同的等价形式:微分半代数混杂系统近似失败等价、微分半代数混杂系统近似失败迹等价和近似准备等价。这些等价形式是在进程代数、数值近似理论和等价理论基础上进行研究的，并且简单分析了这些等价形式的关系即是对微分半代数混杂系统刻画的复杂程度;这些近似等价形式和三种线性时间近似等价一起可以组成微分半代数混杂系统的一个线性时间近似等价谱系，从而可以针对不同需求的微分半代数混杂系统进行近似等价研究，达到验证和分析微分半代数混杂系统的目的。对牵涉到这些等价形式的满足关系都进行了简单定义。