如果将k连通图G中的一条边收缩之后所得到的图仍然k连通，川称这条边为G的k可收缩边。利用队至少是5的3连通图中存在3可收缩边这一性质，_1980年Thomassen使用归纳法统一证明了关于平面图的Kuratowski等三个重要定理.自那以来，人们对k连通图中k可收缩边进行了大量的研究不存在k可收缩边的完全k连通图称为收缩临界k连通图.由于收缩临界k连通图每一个性质的否定都可得到k连通图中存在k可收缩边的允分条什，因而对k连通图中k可收缩边进行研究就转化为对收缩临界k连通图性质的研究。 最先Egowa证明每一个收缩临界k连通图有一个基数小于等于k/4的断片，由此可推出当k=4，5，6，7时，收缩临界k连通图的最小度等于k.已经知道不存在收缩临界3连通图，收缩临界4连通图的结构已经完全清楚，它们是两炎特殊的4正则力，接着自然要想弄清收缩临界5连通图的结构，经过多年的探索，人们发现这是一个十分困难的问题.为了弄清收缩临界5连通图的结构，首先要了解收缩临界5连通图性质.山前面Egawa的结果知道收缩临界5连通图至少有一个5度顶点，对于收缩临界5连通图中5度顶点的分布，袁旭东在1994年得到： 定理A 收缩临界5连通图中每一个点都与1个5度点相邻。 由此可以推出G中至少有1/5│G│个5度顶点。1997年苏健基进一步证明了： 定理B 收缩临界5连通图中每一个点都与2个5度点相邻。 由此可以推出G中至少有2/5│G│个5度顶点.到了2003午，Ando又重复得到袁在1994年得到的结果.对于收缩临界5连通图G中5度顶点数的下界，最近覃城阜改进到： 定理C 设G是收缩临界5连通图，则G至少有4/9│G│个5度顶点。 本文进一步得到： 定理1 若G为收缩临界5连通图，则G中至少有1/2│G│个5度顶点。 对于收缩临界k连通图G，最早Thomassen证明图中都有三边形，后来Mader改进到有│G│／3个三边形，最近Kriesell证明至少有2│G│／3个三边形山丁收缩临界5连通图中有很多三边形，又有很多5度顶点，因而也会有不少通过5度顶点的三边形.如果k连通图的一条边在三边形上，并且它所对的顶点是k度顶点，也即这条边的两个端点有一个公共邻点是k度点，这条边显然是不可收缩边，称为平凡不可收缩边.Ando研究了收缩临界5连通图中平凡不可收缩边的分布，证明了： 定理D 收缩临界5连通图G至少有1/2│G│条平凡不可收缩边。 他还提出猜想: 猜想收缩临界5连通图G至少有2│G│条平凡不可收缩边。 最近李向军证明了: 定理E 收缩临界5连通图G至少有│G│+1条平凡不可收缩边。 本文在此基础上进一步得到: 定理2 若G为收缩临界5连通图，则G中至少有3/2│G│条平凡不可收缩边。